- 计数原理
- 共11505题
在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两张．
（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由．
正确答案
解：（1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，∴取到的两张卡片上数字之积大于12的概率P=
（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，则P（ξ=1）=
其数学期望为E（ξ）=1×
（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，则P（η=2）=
其数学期望为E（η）=2×
因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值不相等，其中E（ξ）＜E（η）．
解析
解：（1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，∴取到的两张卡片上数字之积大于12的概率P=
（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，则P（ξ=1）=
其数学期望为E（ξ）=1×
（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，
列表如下：
由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，则P（η=2）=
其数学期望为E（η）=2×
因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值不相等，其中E（ξ）＜E（η）．
现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P（B）=
由于A=B
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B
=
=
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5
根据事件的对立性和互斥性得
P（X=0）=P（
P（X=1）=P（B
P（X=2）=P（
P（X=3）=P（BC
P（X=4）=P（
P（X=5）=P（BCD）=
故X的分布列为
所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=
解析
解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P（B）=
由于A=B
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B
=
=
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5
根据事件的对立性和互斥性得
P（X=0）=P（
P（X=1）=P（B
P（X=2）=P（
P（X=3）=P（BC
P（X=4）=P（
P（X=5）=P（BCD）=
故X的分布列为
所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=
为了了解市民的环保意识，某校高一（1）班50名学生在6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
（1）求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数；
（2）求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差．
正确答案
解：（1）由图表可得，平均数
（2）
解析
解：（1）由图表可得，平均数
（2）
一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）每次从袋中随机抽取1个球，抽到编号为6号球的概率
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
（Ⅱ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6．…（7分）
∴随机变量X的分布列为
…（11分）
∴…（13分）
解析
解：（Ⅰ）每次从袋中随机抽取1个球，抽到编号为6号球的概率
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
（Ⅱ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6．…（7分）
∴随机变量X的分布列为
…（11分）
∴…（13分）
甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%． 求：
①乙市下雨时甲市也下雨的概率为______；②甲乙两市至少一市下雨的概率为______
正确答案
26%
解析
解：①乙市下雨时甲市也下雨的概率为
②甲乙两市至少一市下雨的概率为20%+18%-12%=26%
故答案为：
已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E（ξ）=6.3，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由题意和概率的性质得0.4+0.1+b=1，b=0.5，
且Eξ=0.5a+7×0.1+9×0.4=6.3，
∴a=4，
故选A．
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为______．
正确答案
解析
解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），
∴3a+2b=2，
∴2≥2 
∴ab≤
∴ab的最大值为
故答案为：
2010年广州亚运会乒乓球团体赛中，每场比赛女选手采用三局两胜制，男选手采用五局三胜制，按选手实力估计，每位中国男、女选手战胜国外对应选手的概率大致为
（1）求中国某男选手甲以3：2战胜国外男选手乙的概率；
（2）用概率知识解释每场比赛中，赛制对中国男选手有利还是对中国女选手更有利．
（3）中国女选手丙与国外女选手丁比赛中，求丁获胜局数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）甲3：2战胜乙，说明前四局中甲胜2局，第5局甲胜．
∴
（2）设A表示“采用三局两胜制，中国女选手获胜”．
则
设B表示“采用五局三胜制，中国男选手获胜”
则
∵P（A）＜P（B）
∴赛制对中国男选手更有利．
（3）ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
Eξ=0×
解析
解：（1）甲3：2战胜乙，说明前四局中甲胜2局，第5局甲胜．
∴
（2）设A表示“采用三局两胜制，中国女选手获胜”．
则
设B表示“采用五局三胜制，中国男选手获胜”
则
∵P（A）＜P（B）
∴赛制对中国男选手更有利．
（3）ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
Eξ=0×
2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布列及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
…（6分）
故甲答对试题数ξ的数学期望Eξ==．…（8分）
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P（A）===，P（B）===，
因为事件A、B独立，所以甲乙两人均通不过的概率为：P（）=P（）P（）
=（1-）（1-）==，
故甲、乙两人至少有一人通过的概率为P=1-P（）=1-=
解析
解：（Ⅰ）由题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
…（6分）
故甲答对试题数ξ的数学期望Eξ==．…（8分）
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P（A）===，P（B）===，
因为事件A、B独立，所以甲乙两人均通不过的概率为：P（）=P（）P（）
=（1-）（1-）==，
故甲、乙两人至少有一人通过的概率为P=1-P（）=1-=
某大学自主招生面试有50位学生参加，其屮数学与英语成绩采用5分制，设数学成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：
则英语成绩y的数学期望为______．
正确答案
解析
解：由题意及图表得a=6，
由于英语成绩为y，可以取y=1，2，3，4，5
有期望的定义得：Ey=
故答案为：
学校体育节拟举行一项趣味运动比赛，选手进入正赛前通过“海选”，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛人数，则优选考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲同学通过项目A、B、C测试的概率分别为
（1）若甲同学先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由．
（2）若甲同学按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为P1，第二项能通过的概率为P2，第三项能通过的概率为P3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用P1P2P3表示）；试说明甲同学按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．
正确答案
解：（1）依题意，甲同学不能通过海选的概率为（1-
∴甲同学能通过海选的概率为1-
若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率为（1-
（2）ξ的可能取值为1，2，3
P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1-p1）p2，P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）p2
∴ξ的分布列为
∴Eξ=p1+2（1-p1）p2+3（1-p1）（1-p2）p2，
∵参加海选测试次数少的选手进入正赛，
∴该同学选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试时，Eξ最小．
解析
解：（1）依题意，甲同学不能通过海选的概率为（1-
∴甲同学能通过海选的概率为1-
若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率为（1-
（2）ξ的可能取值为1，2，3
P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1-p1）p2，P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）p2
∴ξ的分布列为
∴Eξ=p1+2（1-p1）p2+3（1-p1）（1-p2）p2，
∵参加海选测试次数少的选手进入正赛，
∴该同学选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试时，Eξ最小．
在一次人才招聘会上，有A，B，C三种不同的技工面向社会招聘，已知某技术人员应聘A，B，C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2（允许技工人员同时被多种技工录用）．
（1）求该技术人员被录用的概率；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）该技术人员被录用的概率是
P=1-（1-0.8）×（1-0.5）×（1-0.2）=1-0.2×0.5×0.8=0.92；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，
则被录用的工种数是0、1、2、3，未被录用的工种数是3、2、1、0，
它们的乘积是0×3=0，1×2=2，2×1=2，3×0=0，
∴ξ的取值只能是0、2；
当ξ=0时，P（ξ=0）=0.16；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.84；
∴ξ的分布列为：
…（9分）
数学期望是Eξ=0×0.16+2×0.84=1.68．
解析
解：（1）该技术人员被录用的概率是
P=1-（1-0.8）×（1-0.5）×（1-0.2）=1-0.2×0.5×0.8=0.92；
（2）设ξ表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的乘积，
则被录用的工种数是0、1、2、3，未被录用的工种数是3、2、1、0，
它们的乘积是0×3=0，1×2=2，2×1=2，3×0=0，
∴ξ的取值只能是0、2；
当ξ=0时，P（ξ=0）=0.16；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.84；
∴ξ的分布列为：
…（9分）
数学期望是Eξ=0×0.16+2×0.84=1.68．
已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=
正确答案
解析
解：由题意可得：2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1-2x）=2．
∴方差Dξ=
化为
∴
∴
故答案为
武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家，每周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟，则称该天为“风顺”天
（1）求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率；
（3）记X为小明一周中“风顺”天的天数，求X的数学期望．
正确答案
解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为P0，
每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，
基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，
代入公式可得P0=
某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：P=
（2）某天为“风顺”天的概率为：P2=
依题意得，X～B（5，
∴EX=5×
解析
解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为P0，
每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，
基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，
代入公式可得P0=
某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：P=
（2）某天为“风顺”天的概率为：P2=
依题意得，X～B（5，
∴EX=5×
“追星族”统计表
（1）求a，b的值．
（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）
故a=0.75×400=300，…（2分）
[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，
故b=
综上，a=300，b=0.1．…（4分）
（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为
ξ～B（2，
故ξ的分布列是：
…（8分）
ξ的期望是
ξ的方差是
解析
（本小题满分12分）
解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）
故a=0.75×400=300，…（2分）
[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，
故b=
综上，a=300，b=0.1．…（4分）
（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为
ξ～B（2，
故ξ的分布列是：
…（8分）
ξ的期望是
ξ的方差是
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