- 计数原理
- 共11505题
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
（1）他罚球1次的得分X的数学期望；
（2）他罚球2次的得分Y的数学期望；
（3）他罚球3次的得分η的数学期望．
正确答案
解：（1）X的取值为0，1，则
因为P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3，所以EX=1×P（X=1）+0×P（X=0）=0.7．
（2）Y的取值为0，1，2，则
P（Y=0）=0.32=0.09，P（Y=1）=
Y的概率分布列为
所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4．
（3）η的取值为0，1，2，3，则
P（η=0）=0.33=0.027，P（η=1）=
∴η的概率分布为
所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1．
解析
解：（1）X的取值为0，1，则
因为P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3，所以EX=1×P（X=1）+0×P（X=0）=0.7．
（2）Y的取值为0，1，2，则
P（Y=0）=0.32=0.09，P（Y=1）=
Y的概率分布列为
所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4．
（3）η的取值为0，1，2，3，则
P（η=0）=0.33=0.027，P（η=1）=
∴η的概率分布为
所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1．
一个袋中有大小相同的标有1、2、3、4、5、6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分，则拿4次所得分数ξ的数学期望是______．
正确答案
-
解析
解：由题意可得：ξ可能取的值为-4，-2，0，2，4，
P（ξ=-4）=（
P（ξ=-2）=
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
∴离散型随机变量ξ的分布列为：
所以Eξ=-4×+（-2）×+0×+2×+4×=-．
故答案为：-．
某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加．若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为
（1）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；
（2）求小李10月份参加测试的次数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a，a+
则（1-a）（a+
解得
所以小李第一次参加测试就合格的概率为
（2）因为P（ξ=1）=
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
则ξ的分布列为
…（10分）
所以，
即小李10月份参加测试的次数ξ的数学期望为．…（12分）
解析
解：（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a，a+
则（1-a）（a+
解得
所以小李第一次参加测试就合格的概率为
（2）因为P（ξ=1）=
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
则ξ的分布列为
…（10分）
所以，
即小李10月份参加测试的次数ξ的数学期望为．…（12分）
某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为
（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II） 记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．
∴P（A1B0+A2B1+A2B0）=P（A1B0）+P（A2B1）+P（A2B0）=P（A1）•P（B0）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B0）
=
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为：
…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=． …（12分）
解析
解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．
∴P（A1B0+A2B1+A2B0）=P（A1B0）+P（A2B1）+P（A2B0）=P（A1）•P（B0）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B0）
=
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为：
…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=． …（12分）
袋中装有2个白球，2个红球，它们大小、形状完全相同，仅强度不同，白球被击中1次破裂（成粉末），红球被击中2次破裂（被击中1次外形不改变）．现随机击2次，设每次均击中一球，每球被击中的可能性相等，记ξ为袋中剩余球的个数．
（Ⅰ）求袋中恰好剩2个球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）袋中恰好剩2个球，表示分别击中两个白球，P（ξ=2）=
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4 …（5分）
袋中恰好剩3个球分三类：击中一白一红
击中一红一白
∴P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列如下：
Eξ=…（12分）
解析
解：（Ⅰ）袋中恰好剩2个球，表示分别击中两个白球，P（ξ=2）=
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4 …（5分）
袋中恰好剩3个球分三类：击中一白一红
击中一红一白
∴P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
ξ的分布列如下：
Eξ=…（12分）
某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟．某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为0.8，假设他各次投篮之间互不影响．若记投篮的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：由题意ξ∈{2，3，4，5}，则
P（ξ=2）=0.8×0.8=0.64，P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=2×0.64+3×0.256+4×0.0768+5×0.0272=2.4912．
解析
解：由题意ξ∈{2，3，4，5}，则
P（ξ=2）=0.8×0.8=0.64，P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=2×0.64+3×0.256+4×0.0768+5×0.0272=2.4912．
（2013春•杭州校级月考）正四面体（即四条棱均相等的三棱锥）的4个面上分别写有数字1，2，3，4，将3个这样大小相同、质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上．记ξ为与桌面接触的3个面上的3个数字中最大值与最小值之差的绝对值，则随机变量ξ的期望Eξ等于______．
正确答案
解析
解：ξ的可能取值为0，1，2，3．与桌面接触的3个面上的3个数字共有43=64个基本事件．
①当与桌面接触的3个面上的3个数字相同时，包括4个基本事件：（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），
（4，4，4），即ξ=0=|1-1|=…=|4-4|，∴P（ξ=0）=
②当与桌面接触的3个面上的3个数字相差2时，包括以下24个基本事件：
（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1），（3，3，1），（3，1，3），（1，3，3），（2，2，4），（2，4，2），（4，2，2），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（1，2，3），…（3，2，1），（2，3，4），…（4，3，2），∴P（ξ=2）=
③当与桌面接触的3个面上的3个数字相差3时，包括以下18个基本事件：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），
（4，4，1），（4，1，4），（1，4，4），（4，2，1），（2，4，1），（4，1，2），（2，1，4），（1，2，4），（1，4，2）（4，3，1），（3，4，1），（4，1，3），（3，1，4），（1，3，4），（1，4，3）．∴P（ξ=3）=
④当与桌面接触的3个面上的3个数字相差1时，P（ξ=1）=
ξ的分布列如下表：
∴Eξ=
故答案为
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过500 克的产品数量；
（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）根据频率分步直方图中所给的小矩形的长宽，做出小矩形的面积，得到这个范围中的频率，
重量超过505克的产品数量是40×（0.07×5+0.05×5+0.01×5）=26件；
（Ⅱ）由题意知Y的所有可能取值为0，1，2；
重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
重量未超过505克的产品数量是28件．
∴Y的分布列为
∴Y的期望为
解析
解：（I）根据频率分步直方图中所给的小矩形的长宽，做出小矩形的面积，得到这个范围中的频率，
重量超过505克的产品数量是40×（0.07×5+0.05×5+0.01×5）=26件；
（Ⅱ）由题意知Y的所有可能取值为0，1，2；
重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
重量未超过505克的产品数量是28件．
∴Y的分布列为
∴Y的期望为
现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为（ ）
A
B
C2
D
正确答案
解析
解：由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴Eξ=1×
故选：A．
设ξ～B（n，p）且Eξ=15，Dξ=
A50，
B60，
C50，
D60，
正确答案
解析
解：∵ξ～B（n，p）且Eξ=15，Dξ=
∴
故选D．
某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望．
正确答案
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
解析
解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（
=
（2）P（ξ=0）=
P（ξ=1）=P（A）P（
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=
∴Eξ=0×
益阳市箴言中学学校团委为三个年级提供了“甲、乙、丙、丁”学雷锋的四个不同活动内容，每个年级任选其中一个．求：
（1）三个年级选择3个不同活动内容的概率；
（2）恰有2个活动内容被选择的概率；
（3）选择甲活动内容的年级个数ξ的分布列．
正确答案
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
解析
解：（1）每个年级任选其中一个，都有4种选择方法，三个年级共有43种选择方法，其中三个年级选择3个不同活动内容，共有
（2）恰有2个活动内容被选择，共有
（3）ξ的取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
今年夏季酷暑难熬，某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动，若瓶盖中印有“中奖2元”字样，则可以兑换2元现金，如果这种饮料每瓶成本为2元，投入市场按每瓶3元销售，“中奖2元”综合中奖率为10%．
（1）求甲够买饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率；
（2）若该厂生产这种饮料20万瓶，假设全部售出，则盈利的期望值是多少？
正确答案
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
解析
解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P，则
P=
（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ的可能取值是-1，1，
且P（ξ=-1）=0.1，P（ξ=1）=0.9，
故ξ的分布列为：
Eξ=-1×0.1+1×0.9=0.8．
故20万瓶的盈利期望值为：20Eξ=20×0.8=16（万元） …（13分）
某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；
（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
解析
解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A1为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A2为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A1）+P（A2）=
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=2
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
解析
解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
EX==．
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