- 计数原理
- 共11505题
（1）求x的值和数学成绩在110分以上的人数；
（2）从数学成绩在110分以上的学生中任意抽取3人，成绩在130分以上的人数为ξ，求ξ的期望．
正确答案
解：（1）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]÷20=0.0175
数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人．
（2）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人
∴ξ的取值为：0，1，2
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望为：Eξ=
解析
解：（1）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]÷20=0.0175
数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人．
（2）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人
∴ξ的取值为：0，1，2
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望为：Eξ=
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）
∴乙只用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
解析
解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）
∴乙只用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b=______．
正确答案
解析
解：设离散性随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，
P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），
∴（a+b）+（2a+b）+（3a+b）+（4a+b）=1，
即10a+4b=1，
又ξ的数学期望Eξ=3，
则（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）=3，
即30a+10b=3，
∴a+b=
某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
正确答案
解析
解：根据题意题意，分析可得X可取的值为3，4，5；
当X=3时，分甲、乙胜两种情况；
即甲连胜三局，其概率为（
则P（X=3）=
当X=4时，也分甲、乙胜两种情况；
若甲胜，其概率为[C32（
则P（X=4）=
当X=5时，也分甲、乙胜两种情况；
若甲胜，其概率为[C42（
则P（X=5）=
则X的数学期望EX=3×
故答案为：
某公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{0，1，2，3}），满足|x-1|+|y-2|≥3电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个…（3分）
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，
∴P（A）=
（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900．
P（ξ=-100）=
∴ξ的分布列为
∴…（12分）
解析
解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个…（3分）
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，
∴P（A）=
（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900．
P（ξ=-100）=
∴ξ的分布列为
∴…（12分）
某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为
（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；
（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，
由题意，
若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率
若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率
若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率
∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，
则
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
=
P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=．
解析
解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，
由题意，
若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率
若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率
若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率
∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，
则
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
=
P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=．
已知随机变量x的分布列为
则随机变量x的方差为______．
正确答案
1.2
解析
解：Ex=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2
Dx=0.1×（0-2）2+0.2×（1-2）2+0.4×（2-2）2+0.2×（3-2）2+0.1×（4-2）2=1.2
故答案为：1.2
把2对孪生兄弟共4人随机排成一排，记随机变量ξ为这一排中孪生兄弟相邻的对数，则随机变量ξ的期望Eξ=______．
正确答案
1
解析
解：随机变量ξ可能的取值是0，1，2．记孪生兄弟分别为Aa，Bb，4人随机排成一排有A
当ξ=0时，这一排中孪生兄弟没有相邻的对数，即先安排一对孪生兄弟，有A
当ξ=1时，这一排中孪生兄弟中只有一对相邻，即先安排一对孪生兄弟，有A
从而P（ξ=2）=1-
因此Eξ=0×
则随机变量ξ的期望Eξ=1．
故答案为：1．
有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下集中变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（ ）
正确答案
解析
解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布．
故选：B．
有A，B两个盒子，A盒中装有3个红球，2个黑球，B盒中装有2个红球，3个黑球，现从A，B两个盒子中各取2个球互换，假定取到每个球是等可能的．
（Ⅰ）求B盒中红球个数不变的概率；
（Ⅱ）互换2球后，B盒中红球的个数记为ξ，写出ξ的分布列，并求出ξ的期望E（ξ）．
正确答案
解：（Ⅰ）①从A，B两个盒子中各取2个黑球的概率为：
②从A，B两个盒子中各取1个黑球、1个红球的概率为：
③从A，B两个盒子中各取2个红球的概率为：
所以B盒中红球个数不变的概率为：0.03+0.36+0.03=0.42；
（Ⅱ）互换2球后，B盒中红球的个数记为ξ，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=0.42，
所以ξ的分布列为：
所以ξ的期望E（ξ）=0×0.01+1×0.12+2×0.42=0.96．
解析
解：（Ⅰ）①从A，B两个盒子中各取2个黑球的概率为：
②从A，B两个盒子中各取1个黑球、1个红球的概率为：
③从A，B两个盒子中各取2个红球的概率为：
所以B盒中红球个数不变的概率为：0.03+0.36+0.03=0.42；
（Ⅱ）互换2球后，B盒中红球的个数记为ξ，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=0.42，
所以ξ的分布列为：
所以ξ的期望E（ξ）=0×0.01+1×0.12+2×0.42=0.96．
将甲、乙两颗骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所掷出的点数，若“M（a，b）落在不等式x2+y2≤m（m为常数）所表示的区域内”设为事件C，要使事件C的概率P（C）=
正确答案
解析
解：要使事件C的概率P（C）=
故选C．
在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P（X=4）=______．（用数字表示）
正确答案
解析
解：由题意P（X=4）=
故答案为：
在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．
（1）求x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率；
（2）求至少有一个盒子没有球的概率．
正确答案
解：（1）设掷出1点为事件A，掷出2点或3点事件B，掷出4点或5点或6点为事件C，
则
要使x，y，z成公差大小0的等差数列，则x=0，y=1，z=2，∴所求概率为
（2）至少有一个盒子没有球与三人盒有均有球互为对立事件
三个盒中均有球，即每人盒里有且只有一球
故所求概率为
解析
解：（1）设掷出1点为事件A，掷出2点或3点事件B，掷出4点或5点或6点为事件C，
则
要使x，y，z成公差大小0的等差数列，则x=0，y=1，z=2，∴所求概率为
（2）至少有一个盒子没有球与三人盒有均有球互为对立事件
三个盒中均有球，即每人盒里有且只有一球
故所求概率为
如果消息A发生的概率为P（A），那么消息A所含的信息量为
正确答案
解析
解：A选项中的事件“王教授在第4排”发生的概率为
B选项中的事件“王教授在第4排第5列”发生的概率为
C选项中的事件“王教授在第5列”发生的概率为
D选项中的事件“王教授在某一排”发生的概率为
显然B选项的概率最小，其消息量最大．
故选B．
已知函数
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵函数
由f2（x0）+af（x0）+1=0⇒
∴
∴命题p为真命题的概率
故选B．
扫码查看完整答案与解析