- 计数原理
- 共11505题
（1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加庆“五一”全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于165cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（1）①处的频数=100×0.050=5，同理可得②③处的分别为35、0.350，众数是167.5cm，
补全频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于165cm”的有5人．
∴ξ的可能的值为0，1，2，3，
则
其分布列如下：
．
解析
解：（1）①处的频数=100×0.050=5，同理可得②③处的分别为35、0.350，众数是167.5cm，
补全频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于165cm”的有5人．
∴ξ的可能的值为0，1，2，3，
则
其分布列如下：
．
一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则P（A）=
拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况．
P=P1+P2=
（2）ξ的可能取值为-4，-2，0，2，4，
则P（ξ=-4）=
P（ξ=0）=
∴分布列为
∴Eξ=-4×=-…（14分）
解析
解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则P（A）=
拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况．
P=P1+P2=
（2）ξ的可能取值为-4，-2，0，2，4，
则P（ξ=-4）=
P（ξ=0）=
∴分布列为
∴Eξ=-4×=-…（14分）
袋子共装有9个球，其中4个白球，4个黄球，1个黑球，每次从袋中取出一个球（不放回，且每球取到的机会均等），直到当袋中的白球数小于2个或黄球数小于2个时才停止取球，记随机变量ξ表示取球的次数．
（Ⅰ）求当ξ=3时的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（Ⅰ）当ξ=3时，即三次都取白球，或都取黄球，则
（Ⅱ）由题意得ξ的所有可能取值为3，4，5，6；…（4分）
所以随机变量ξ的分布列为
所以…（9分）
解析
解：（Ⅰ）当ξ=3时，即三次都取白球，或都取黄球，则
（Ⅱ）由题意得ξ的所有可能取值为3，4，5，6；…（4分）
所以随机变量ξ的分布列为
所以…（9分）
（1）求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率
（2）记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（1）由频率直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3，0.2，0.1，一天不得奖励的概率是0.4，
所以在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率为
（2）X的可能取值为0，50，150，200，250，300，则
P（X=0）=0.42=0.16，P（X=50）=2×0.4×0.3=0.24，
P（X=100）=0.32+2×0.4×0.2=0.25，
P（X=150）=2×0.4×0.1+2×0.3×0.2=0.20，
P（X=200）=0.22+2×0.3×0.1=0.10，
P（X=250）=2×0.2×0.1=0.04，
P（X=300）=0.12=0.01，
∴X的分别列是：
EX=0×0.16+50×0.24+100×0.25+150×0.20+200×0.10+250×0.04+300×0.01=100．
解析
解：（1）由频率直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3，0.2，0.1，一天不得奖励的概率是0.4，
所以在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率为
（2）X的可能取值为0，50，150，200，250，300，则
P（X=0）=0.42=0.16，P（X=50）=2×0.4×0.3=0.24，
P（X=100）=0.32+2×0.4×0.2=0.25，
P（X=150）=2×0.4×0.1+2×0.3×0.2=0.20，
P（X=200）=0.22+2×0.3×0.1=0.10，
P（X=250）=2×0.2×0.1=0.04，
P（X=300）=0.12=0.01，
∴X的分别列是：
EX=0×0.16+50×0.24+100×0.25+150×0.20+200×0.10+250×0.04+300×0.01=100．
某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是：从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回．若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元．规定：一对男女中男的摸一次，女的摸二次．令ξ表示两人所得奖金总额．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）由题意可得奖金总额ξ的所有取值为：0、10、20、5、60，所有的摸球方法共有5×5×5=125种，
且ξ取每一个值的概率分别为 P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
故ξ的分布列为：
（2）ξ的数学期望Eξ=0×+10×+20× 50×+60×==．
解析
解：（1）由题意可得奖金总额ξ的所有取值为：0、10、20、5、60，所有的摸球方法共有5×5×5=125种，
且ξ取每一个值的概率分别为 P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
故ξ的分布列为：
（2）ξ的数学期望Eξ=0×+10×+20× 50×+60×==．
第19届南非世界杯的主办城市开普敦有甲乙两个相邻的观光景点，某日甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团．现从甲景点中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从乙景点中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．
（1）求互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率；
（2）求互换后甲景点内美国旅游团数的期望．
正确答案
解．（Ⅰ）令：互换后甲景点恰有2个美国旅游团为事件A，
则甲乙两个景点各有一个旅游团互换后，甲景点恰有2个美国旅游团有下面两种情况：
①互换的都是美国旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A1的概率
②互换的都是日本旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A2的概率
又A=A1+A2，A1，A2互斥，则
∴互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率为
（Ⅱ）设互换后甲景点内美国旅游团数为ξ，则ξ的取值为1，2，3
所以ξ的分布列为：
所以
∴互换后甲景点内美国旅游团数的期望
解析
解．（Ⅰ）令：互换后甲景点恰有2个美国旅游团为事件A，
则甲乙两个景点各有一个旅游团互换后，甲景点恰有2个美国旅游团有下面两种情况：
①互换的都是美国旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A1的概率
②互换的都是日本旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A2的概率
又A=A1+A2，A1，A2互斥，则
∴互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率为
（Ⅱ）设互换后甲景点内美国旅游团数为ξ，则ξ的取值为1，2，3
所以ξ的分布列为：
所以
∴互换后甲景点内美国旅游团数的期望
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，
∴
∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，…（2分）
∴p=0.4，…（3分）
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴
（II）∵该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在此区间的人数为240×0.25=60．…（6分）
（III）根据题意ξ可能取值为0，1，2．…（7分）
∴ξ的分布列为
…（10分）
∴．…（12分）
解析
解：（I）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，
∴
∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，…（2分）
∴p=0.4，…（3分）
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴
（II）∵该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在此区间的人数为240×0.25=60．…（6分）
（III）根据题意ξ可能取值为0，1，2．…（7分）
∴ξ的分布列为
…（10分）
∴．…（12分）
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率．
正确答案
解：ξ的取值分别为1，2，3，4．
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P（ξ=1）=0.6
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P（ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P（ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096．
ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故
P（ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024．
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．李明在一年内领到驾照的概第为
1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976．
解析
解：ξ的取值分别为1，2，3，4．
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P（ξ=1）=0.6
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P（ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P（ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096．
ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故
P（ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024．
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．李明在一年内领到驾照的概第为
1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976．
一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X，则E（X）=______．
正确答案
2
解析
解：所有可能出现的情况分别为
硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为x1=-4，此时概率
硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为x2=-1，此时概率
硬币2次反面向上而2次正面向上，则青蛙停止时坐标为x3=2，此时概率
硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为x4=5，此时概率
硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为x5=8，此时概率
∴E（X）=x1p1+x2p2+x3p3+x4p4+x5p5=2．
故答案为：2
为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．
正确答案
解：随机猜对问题A的概率
回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
（1）先回答问题A，再回答问题B．
参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则
Eξ=m×
（2）先回答问题B，再回答问题A，
参与者获奖金额η可取0，n，m+n，则
Eξ-Eη=（
于是，当
当
当
解析
解：随机猜对问题A的概率
回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
（1）先回答问题A，再回答问题B．
参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则
Eξ=m×
（2）先回答问题B，再回答问题A，
参与者获奖金额η可取0，n，m+n，则
Eξ-Eη=（
于是，当
当
当
某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是
（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；
（II）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少冇两名路途补贴超过300 元的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）．
X的可能值为200，240，280，320，360．
X的分布列为
X的均值为E（X）=200×0.25+240×0.5+280×0.15+（320+360）×0.05=246．…（5分）
该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E（8000X）=8000E（X）=1968000（元）．…（7分）
（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100时，y＞300．
1名职工中路途补贴超过300元的概率P=P（60≤t≤100）=0.1，…（8分）
记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则
P（A）=
解析
解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）．
X的可能值为200，240，280，320，360．
X的分布列为
X的均值为E（X）=200×0.25+240×0.5+280×0.15+（320+360）×0.05=246．…（5分）
该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E（8000X）=8000E（X）=1968000（元）．…（7分）
（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100时，y＞300．
1名职工中路途补贴超过300元的概率P=P（60≤t≤100）=0.1，…（8分）
记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则
P（A）=
QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求Eξ．
正确答案
解：（1）QQ先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天QQ先生吃掉黑鱼，其概率为
故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是
（2）与（1）相仿地可得，（6分）
故
故所求期望值为5．（12分）
解析
解：（1）QQ先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天QQ先生吃掉黑鱼，其概率为
故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是
（2）与（1）相仿地可得，（6分）
故
故所求期望值为5．（12分）
2011年3月20日，第19个世界水日，主题是：“城市水资源管理”；2011年“六•五”世界环境日中国主题：“共建生态文明，共享绿色未来”．活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况，随机对10～60岁的人群抽查了n人，调查的每个人都同时回答了两个问题，统计结果如下：
（Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答活动主题正确的概率，规定回答正确世界环境日中国主题的得20元奖励，回答正确世界水日主题的得30元奖励．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个主题，两个主题能否回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；
（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率．
正确答案
解：（1）依题意：在[10，20）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数与“世界水日”的人数相同，故a=0.5．
在[40，50）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数=
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其分布列分别为：所以其分布列为：
数学期望为：Eξ=25，Eη=28．
该家庭获得奖励的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25
解析
解：（1）依题意：在[10，20）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数与“世界水日”的人数相同，故a=0.5．
在[40，50）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数=
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其分布列分别为：所以其分布列为：
数学期望为：Eξ=25，Eη=28．
该家庭获得奖励的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25
（2015秋•茂名校级月考）为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）由题意可知，样本容量n=
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，共7人．
抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为1，2，3，则
P（X=1）=
所以X的分布列为
…（10分）
所以EX=1×+2×+3×=．…（12分）
解析
解：（1）由题意可知，样本容量n=
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，共7人．
抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为1，2，3，则
P（X=1）=
所以X的分布列为
…（10分）
所以EX=1×+2×+3×=．…（12分）
某随机变量X的分布列如下：
则随机变量X的数学期望为______．
正确答案
1.7
解析
解：根据所给分布列，可得a+0.3+0.2=1，
∴a=0.5
∴EX=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7
则随机变量X的数学期望为 1.7
故答案为：1.7
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