- 计数原理
- 共11505题
一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E（X）=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：①从袋中同时摸出3只小球中的最大号码是3的情况只有一种（1，2，3），因此P（X=3）=
②从袋中同时摸出3只小球中的最大号码是4的情况有3种：（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），因此P（X=4）=
③从袋中同时摸出3只小球中的最大号码是5的情况有6种：（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），因此P（X=4）=
∴随机变量X的数学期望E（X）=
故选D．
一袋子中装有质地均匀，大小相同且标号分别为3，4，5三个小球，从袋子中有放回地先后抽取两个小球的标号分别为a，b，记ξ=|a-4|+|a-b|．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并写出事件“ξ取最大值”的概率．
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）a，b的可能取值为3，4，5．则|a-4|≤1，|a-b|≤2，
当
故P（ξ=3）=
（Ⅱ）ξ 的可能取值为0，1，2，3．
当ξ=0时，即a=b=4，则P（ξ=0）=
当ξ=1时，a，b的解有
即P（ξ=1）=
当ξ=2时，
只有当
即p（ξ=2）=
当ξ=3时，易知P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为：
则 Eξ×+2×=．
解析
解：（Ⅰ）a，b的可能取值为3，4，5．则|a-4|≤1，|a-b|≤2，
当
故P（ξ=3）=
（Ⅱ）ξ 的可能取值为0，1，2，3．
当ξ=0时，即a=b=4，则P（ξ=0）=
当ξ=1时，a，b的解有
即P（ξ=1）=
当ξ=2时，
只有当
即p（ξ=2）=
当ξ=3时，易知P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为：
则 Eξ×+2×=．
（Ⅰ）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；
（Ⅱ）已知等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分；
（ii）求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）因为“语言表达能力”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（1分）
所以该考场考生中“竞争与团队意识”科目中成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（Ⅱ）（i）该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为
（ii）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=
P（ξ=19）=
所以ξ的分布列为
…（11分）
所以Eξ=16×+17×+18×+19×+20×=
所以ξ的数学期望为…（13分）
解析
解：（Ⅰ）因为“语言表达能力”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（1分）
所以该考场考生中“竞争与团队意识”科目中成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（Ⅱ）（i）该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为
（ii）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=
P（ξ=19）=
所以ξ的分布列为
…（11分）
所以Eξ=16×+17×+18×+19×+20×=
所以ξ的数学期望为…（13分）
某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为：
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=
X的分布列：
和数学期望EX=1×+2×+3×=2．
解析
解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为：
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=
X的分布列：
和数学期望EX=1×+2×+3×=2．
（2016•泸州模拟）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为
元件B为正品的概率为
（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5-x件，
由题意知100x-20（5-x）≥300，
得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，
则P（C）=
（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30，
则P（X=150）=
P（X=90）=
P（X=30）=
P（X=-30）=
所以X的分布列为：
…（10分）
EX=150×+90×+30×-30×=108．…（12分）
解析
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为
元件B为正品的概率为
（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5-x件，
由题意知100x-20（5-x）≥300，
得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，
则P（C）=
（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30，
则P（X=150）=
P（X=90）=
P（X=30）=
P（X=-30）=
所以X的分布列为：
…（10分）
EX=150×+90×+30×-30×=108．…（12分）
某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=______．
正确答案
解析
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，
所以依题意得：P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
所以Eξ=．
Dξ=++=
故答案为：
有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX的值为（ ）
正确答案
解析
解：从中任取3支共有10种不同的取法，
由题意可得：X可能取得数值为：3，4，5，
当X=3时表示取出竹签的最大号码为3，其包含的事件有1个，所以P（X=3）=
当X=4时表示取出竹签的最大号码为4，其包含的事件有3个，所以P（X=4）=
当X=5时表示取出竹签的最大号码为5，其包含的事件有6个，所以P（X=5）=
所以EX=
故选B．
在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的2个红球、3个黄球．现分别从每个口袋中各任取2个球，设随机变量ξ为取得红球的个数．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题ξ的取值可能是0，1，2，3，4．从两个袋中各一个球，总的取法有
故P（ξ=0）=
P（ξ=1）=2×
P（ξ=2）=2×
P（ξ=3）=2×
P（ξ=4）=2×
所以ξ的分布列为：
（2）ξ的数学期望Eξ=0×
解析
解：（1）由题ξ的取值可能是0，1，2，3，4．从两个袋中各一个球，总的取法有
故P（ξ=0）=
P（ξ=1）=2×
P（ξ=2）=2×
P（ξ=3）=2×
P（ξ=4）=2×
所以ξ的分布列为：
（2）ξ的数学期望Eξ=0×
某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机取A，B，C三个班进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．
（1）求甲、乙同时去A班听课的概率；
（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）记评估小组中甲、乙两名评估员同时被分配到A班听课的事件为E，
则P（E）=
所以甲、乙同时去A班听课的概率为
（2）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列是
所以ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．
解析
解：（1）记评估小组中甲、乙两名评估员同时被分配到A班听课的事件为E，
则P（E）=
所以甲、乙同时去A班听课的概率为
（2）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列是
所以ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．
（Ⅰ） 请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；
（Ⅱ） 利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（本题满分12分）
解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，
篮球队的身高数据方差较小．…（4分）
（Ⅱ）排球队中超过170cm的有4人，超过178cm的有3人，
篮球队中超过170cm的有5人，超过178cm的有2人，
所以X的所有可能取值为0，1，2…（6分）
P（X=1）=
P（X=2）=
所以X的分布列为
所以X的数学期望．…（12分）
解析
（本题满分12分）
解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，
篮球队的身高数据方差较小．…（4分）
（Ⅱ）排球队中超过170cm的有4人，超过178cm的有3人，
篮球队中超过170cm的有5人，超过178cm的有2人，
所以X的所有可能取值为0，1，2…（6分）
P（X=1）=
P（X=2）=
所以X的分布列为
所以X的数学期望．…（12分）
（I）该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：y=
正确答案
解：（I）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴样本中一等品的频率为
二等品的频率为
三等品的频率为
（II）X的可能取值为3，5，8，则P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下
数学期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）
解析
解：（I）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴样本中一等品的频率为
二等品的频率为
三等品的频率为
（II）X的可能取值为3，5，8，则P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下
数学期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）
一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中有3个红球和（n-3）个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p．
（Ⅰ）当
（Ⅱ）若6p∈N，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于
正确答案
解：（I）
故白球的个数ξ可取0，1，2．（1分）
（另解：依题意ξ服从参数为N=5，M=2，n=3的超几何分布，所以Eξ=
（II）由题设知，
因为p（1-p）＞0，所以不等式可化为
解不等式得，
又因为6p∈N，所以6p=3，即
所以
解析
解：（I）
故白球的个数ξ可取0，1，2．（1分）
（另解：依题意ξ服从参数为N=5，M=2，n=3的超几何分布，所以Eξ=
（II）由题设知，
因为p（1-p）＞0，所以不等式可化为
解不等式得，
又因为6p∈N，所以6p=3，即
所以
随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=
正确答案
解析
解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=
解得
所以
故答案为：
甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：
①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竟猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．
（Ⅰ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（I）由题意基本事件的总数为
设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，
则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-
（II）由题意可知：从6人中选取4人共有
则P（X=0）=
随机变量X的分布列为
期望为E（X）=
解析
解：（I）由题意基本事件的总数为
设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，
则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-
（II）由题意可知：从6人中选取4人共有
则P（X=0）=
随机变量X的分布列为
期望为E（X）=
某高中有甲、乙两个生物兴趣小组，分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为
（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（2）若甲．乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则
P（A）=
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．
解析
解：（1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则
P（A）=
（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．
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