- 计数原理
- 共11505题
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先随机取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率；
（II）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）抽到2件二等品，4件一等品的概率为P1=
抽到3件二等品3件一等品的概率为
抽到2件以上二等品的概率为P=
∴这批产品被用户拒绝的概率为
（II）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望E（ξ）=0×
解析
解：（1）抽到2件二等品，4件一等品的概率为P1=
抽到3件二等品3件一等品的概率为
抽到2件以上二等品的概率为P=
∴这批产品被用户拒绝的概率为
（II）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望E（ξ）=0×
我校社团将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为
正确答案
解析
解：由题意知，ξ的取值为2，4，6．
则P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
P（ξ=6）=（
随机变量ξ的数学期望为：
Eξ=
故答案为：
（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为60（人），
参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为20先求出（人）．
所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．
所以从全市高中学生中任意选取一人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为
（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率为
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
所以
随机变量ξ的分布列为：
因为ξ～，所以．
解析
解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为60（人），
参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为20先求出（人）．
所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．
所以从全市高中学生中任意选取一人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为
（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率为
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
所以
随机变量ξ的分布列为：
因为ξ～，所以．
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，
中度拥堵的路段个数是（0.25+0.2）×1×20=9个．
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
∴X的分布列为
∴．
解析
解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，
中度拥堵的路段个数是（0.25+0.2）×1×20=9个．
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
∴X的分布列为
∴．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
总的频数为100，因此第4组的频数=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，
因此第3组抽取的人数为：
公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，
每个人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3．
ξ的分布列为：
∴
解析
解：（Ⅰ）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
总的频数为100，因此第4组的频数=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，
因此第3组抽取的人数为：
公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，
每个人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3．
ξ的分布列为：
∴
小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售．已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元．经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数n及天数如下表：
试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：
（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量．试求小王增加订购量的概率．
（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，…（1分）
用频率估计概率可知：P（A）=0.2+0.3=0.5．…（2分）
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5．…（3分）
（Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，
则ξ～B（5，
记事件B=“小王增加订购量”，
则有P（B）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=
所以小王增加订购量的概率为
（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，
则η的所有可能取值为80，95，110，125，140．…..（9分）
其分布列为：
…（11分）
则Eη=80×0.1+95×0.1+110×0.1+125×0.2+140×0.5=123.5
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元．…..（13分）
解析
解：（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，…（1分）
用频率估计概率可知：P（A）=0.2+0.3=0.5．…（2分）
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5．…（3分）
（Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，
则ξ～B（5，
记事件B=“小王增加订购量”，
则有P（B）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=
所以小王增加订购量的概率为
（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，
则η的所有可能取值为80，95，110，125，140．…..（9分）
其分布列为：
…（11分）
则Eη=80×0.1+95×0.1+110×0.1+125×0.2+140×0.5=123.5
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元．…..（13分）
某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是
（Ⅰ）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（Ⅱ）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）设”L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A
则
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2
所以，随机变量X的分布列为：
设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以，随机变量Y的分布列为：
．
因为EX＜EY，所以选择L2巷道为抢险路线为好．
解析
解：（Ⅰ）设”L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A
则
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2
所以，随机变量X的分布列为：
设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以，随机变量Y的分布列为：
．
因为EX＜EY，所以选择L2巷道为抢险路线为好．
为了参加2013年东亚运动会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源如下表：
（1）从这18名对员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；
（2）比赛结束后，若要求选出两名队员代表发言，设其中来自北京的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望．
正确答案
解：（1）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则P（A）=
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2．…（7分）
∵P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×=．…（12分）
解析
解：（1）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则P（A）=
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2．…（7分）
∵P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×=．…（12分）
为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：
A班的5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9．
B班的5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5．
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？
（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）
（Ⅲ）现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，
∴A班的学生视力较好；
（Ⅱ）
∴B班视力方差较大；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班5名学生中有2名学生视力大于4.6，则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（Ⅰ）由题意，
∴A班的学生视力较好；
（Ⅱ）
∴B班视力方差较大；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班5名学生中有2名学生视力大于4.6，则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×=．
已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由题意和概率的性质得0.5+0.1+b=1，
且Eξ=4×0.5+0.1a+9b=6.3，
∴b=0.4，a=7，
故选C．
某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．
（1）求客人游览2个景点的概率；
（2）设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布及数学期望．
正确答案
解：（1）分别记“客人游览甲景点”、
“客人游览乙景点”和“客人游览丙景点”为A1，A2，A3，
由题设条件知A1，A2，A3相互独立，
且P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6，
则游览两个景点的概率为：
P（A1•A2•
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．
相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A1•A2•A3）+P（
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列为：
数学期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
解析
解：（1）分别记“客人游览甲景点”、
“客人游览乙景点”和“客人游览丙景点”为A1，A2，A3，
由题设条件知A1，A2，A3相互独立，
且P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6，
则游览两个景点的概率为：
P（A1•A2•
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．
相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A1•A2•A3）+P（
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列为：
数学期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
某高校在进行自主招生面试时，共设3道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分．
（Ⅰ）试问某学生参加面试得分为20分的不同情况有几种？
（Ⅱ）若某学生对各道试题回答正确的概率均为
正确答案
解：（I）根据题意可得：某学生参加面试得分为20，即他答对了两道题，
所以不同情况有C32=3种．---（5分）
（II）由题意可得：ξ可能取的值为：0，10，20，30，
则有P（ξ=0）=
所以ξ分布列如表所示：
所以ξ的数学期望为：Eξ=0×=20．
解析
解：（I）根据题意可得：某学生参加面试得分为20，即他答对了两道题，
所以不同情况有C32=3种．---（5分）
（II）由题意可得：ξ可能取的值为：0，10，20，30，
则有P（ξ=0）=
所以ξ分布列如表所示：
所以ξ的数学期望为：Eξ=0×=20．
一个盒子中共有6件产品，其中有2件不合格的产品．现在要逐个进行检查，直到查出不合格产品为止．
（I）求第一次检查就抽到次品的概率；
（Ⅱ）设ξ是检查出2件不合格产品时已检查产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）设第一次检查就抽到次品为事件A，则
（Ⅱ）当ξ=2时，
当ξ=3时，
当ξ=4时，
当ξ=5时，
当ξ=6时，
ξ的概率分布列和数学期望：
解析
解：（I）设第一次检查就抽到次品为事件A，则
（Ⅱ）当ξ=2时，
当ξ=3时，
当ξ=4时，
当ξ=5时，
当ξ=6时，
ξ的概率分布列和数学期望：
小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜．
（1）用a、b、c表示小张胜的概率；
（2）若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．
正确答案
解：（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）
=
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则
P（ξ=3）=
P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一
∴Eξ=3×
=
=
=
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此时a=c=0，b=6时，Eξ最大．
解析
解：（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）
=
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则
P（ξ=3）=
P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一
∴Eξ=3×
=
=
=
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此时a=c=0，b=6时，Eξ最大．
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E（X2）；
（2）求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
正确答案
解：（1）由题意可知X2=3，4，5．
当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P（X2=3）=
当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P（X2=4）=
当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P（X2=5）=
所以随机变量X2的概率分布如下表：
数学期望E（X2）=；
（2）设P（Xn=3+k）=pk，k=0，1，2，3，4，5．
则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E（Xn）=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P（Xn+1=3）=，P（Xn+1=4）=p0+p1，P（Xn+1=5）=p1+p2，P（Xn+1=6）=p2+p3，
P（Xn+1=7）=p3+p4，P（Xn+1=8）=p4+p5，
∴E（Xn+1）=3×p0+4×（p0+p1）+5×（p1+p2）+6×（p2+p3）+7×（p3+p4）+8×（p4+p5）
=p0+p1+p2+p3+p4+p5=（3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5）+p0+p1+p2+p3+p4+p5=E（Xn）+1．
由此可知，E（Xn+1）-8=（E（Xn）-8）．
又E（X1）-8=，
∴E（Xn）=．
解析
解：（1）由题意可知X2=3，4，5．
当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P（X2=3）=
当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P（X2=4）=
当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P（X2=5）=
所以随机变量X2的概率分布如下表：
数学期望E（X2）=；
（2）设P（Xn=3+k）=pk，k=0，1，2，3，4，5．
则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E（Xn）=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P（Xn+1=3）=，P（Xn+1=4）=p0+p1，P（Xn+1=5）=p1+p2，P（Xn+1=6）=p2+p3，
P（Xn+1=7）=p3+p4，P（Xn+1=8）=p4+p5，
∴E（Xn+1）=3×p0+4×（p0+p1）+5×（p1+p2）+6×（p2+p3）+7×（p3+p4）+8×（p4+p5）
=p0+p1+p2+p3+p4+p5=（3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5）+p0+p1+p2+p3+p4+p5=E（Xn）+1．
由此可知，E（Xn+1）-8=（E（Xn）-8）．
又E（X1）-8=，
∴E（Xn）=．
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