- 计数原理
- 共11505题
一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X为取出2球中白球的个数，已知P（X=2）=
（Ⅰ）求袋中白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及其数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则P（X=2）=
（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．
随机变量X的取值为0，1，2，则P（X=0）=
随机变量X的分布列如下：
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则P（X=2）=
（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．
随机变量X的取值为0，1，2，则P（X=0）=
随机变量X的分布列如下：
EX=0×+1×+2×=．
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
正确答案
解：由题意知X的可能取值为1，2，3，
随机变量X的分布列是
X的均值为EX=1×+2×+3×=．
解析
解：由题意知X的可能取值为1，2，3，
随机变量X的分布列是
X的均值为EX=1×+2×+3×=．
甲向靶子A射击两次，乙向靶子B射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．
（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；
（Ⅱ）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则
P（A）=C
（Ⅱ）X的可能取值为0，5，10，15，20．
P（X=0）=0.22×0.5=0.02，P（X=5）=C
P（X=10）=0.82×0.5+0.22×0.5=0.34，P（X=15）=C
P（X=20）=0.82×0.5=0.32．
X的分布列为
…（10分）
X的期望为E（X）=0×0.02+5×0.16+10×0.34+15×0.16+20×0.32=13．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则
P（A）=C
（Ⅱ）X的可能取值为0，5，10，15，20．
P（X=0）=0.22×0.5=0.02，P（X=5）=C
P（X=10）=0.82×0.5+0.22×0.5=0.34，P（X=15）=C
P（X=20）=0.82×0.5=0.32．
X的分布列为
…（10分）
X的期望为E（X）=0×0.02+5×0.16+10×0.34+15×0.16+20×0.32=13．…（12分）
一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记ξ=（x1-3）2+（x2-3）2．
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）掷出点数x可能是：1，2，3，4．
则x-3分别得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）2的所有取值分别为：0，1，4．
因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当x1=1且x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，
此时，
当x1=3且x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0．
此时，
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当ξ=1时，（x1，x2）的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即
当ξ=2时，（x1，x2）的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即
当ξ=4时，（x1，x2）的所有取值为（1，3）、（3，1）．
即
当ξ=5时，（x1，x2）的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即
∴ξ的分布列为：
所以Eξ=
解析
解：（1）掷出点数x可能是：1，2，3，4．
则x-3分别得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）2的所有取值分别为：0，1，4．
因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当x1=1且x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，
此时，
当x1=3且x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0．
此时，
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当ξ=1时，（x1，x2）的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即
当ξ=2时，（x1，x2）的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即
当ξ=4时，（x1，x2）的所有取值为（1，3）、（3，1）．
即
当ξ=5时，（x1，x2）的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即
∴ξ的分布列为：
所以Eξ=
一袋中有x（x∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．
（Ⅰ）当x=3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；
（Ⅱ）当x=3时，设ξ表示取出的2个球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于
正确答案
解：（Ⅰ）当x=3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A，
答：取出的2球颜色都相同的事件概率为
（Ⅱ）当x=3时，ξ可取0、1、2，
∵
∴ξ的概率分布为：
ξ的数学期望为：
（Ⅲ）设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，
则
∴x2-6x+2＞0，
∴
∵x∈N
∴x的最小值为6．
解析
解：（Ⅰ）当x=3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A，
答：取出的2球颜色都相同的事件概率为
（Ⅱ）当x=3时，ξ可取0、1、2，
∵
∴ξ的概率分布为：
ξ的数学期望为：
（Ⅲ）设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，
则
∴x2-6x+2＞0，
∴
∵x∈N
∴x的最小值为6．
某人在自己的经济林场种植了杨树、沙柳等植物．一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为
（1）求n，p的值
（2）若一株沙柳成活，则一年内通过该株沙柳获利100元，若一株沙柳不能成活，一年内通过该株沙柳损失30元，求一年内该人通过种植沙柳获利的期望．
正确答案
解：（1）由二项分布的结论：Eξ=np，（σξ）2=np（1-p）
可得
得
答：n，p的值分别为6和
（2）设η为该人通过种植沙柳所获得的利润，
则η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180
所以：Eη=130Eξ-180=210
答：一年内该人通过种植沙柳获利的期望约为210．
解析
解：（1）由二项分布的结论：Eξ=np，（σξ）2=np（1-p）
可得
得
答：n，p的值分别为6和
（2）设η为该人通过种植沙柳所获得的利润，
则η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180
所以：Eη=130Eξ-180=210
答：一年内该人通过种植沙柳获利的期望约为210．
某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．
（Ⅰ）求在D课程没有被选中的条件下，A课程被甲选中的概率；
（Ⅱ）记“这3名学生选择A课程的人数”为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“D课程没有被选中”为事件E，“甲选择了A课程”为事件F，
则n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，则P（E|F）=
（2）解法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P（X=0）=
P（X=2）
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=
解法二：因为A选修课被每位同学选中的概率均为，没被选中的概率均为，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，）
P（X=0）=（）3=，P（X=1）=，
P（X=2）=，P（X=3）=（）3=
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=3×
解析
解：（1）设“D课程没有被选中”为事件E，“甲选择了A课程”为事件F，
则n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，则P（E|F）=
（2）解法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P（X=0）=
P（X=2）
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=
解法二：因为A选修课被每位同学选中的概率均为，没被选中的概率均为，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，）
P（X=0）=（）3=，P（X=1）=，
P（X=2）=，P（X=3）=（）3=
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=3×
某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．
（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；
（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则
P（A3）=
②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-
P（X=2）=（
所以X的分布列是
X的数学期望E（X）=0×
解析
解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则
P（A3）=
②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-
P（X=2）=（
所以X的分布列是
X的数学期望E（X）=0×
某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，
则P（A）=（1-
（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P （ξ=5）=
所以随机变量的分布列为：
故Eξ=
解析
解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，
则P（A）=（1-
（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P （ξ=5）=
所以随机变量的分布列为：
故Eξ=
已知随机变量
正确答案
解析
解：因为随机变量
因为方差
又因为
故：
故答案为
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则P（A）=
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3（6分）
P（X=0）=
所以X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=1．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则P（A）=
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3（6分）
P（X=0）=
所以X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=1．…（13分）
从2008年9月12日含有三聚氰胺的“三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度．现随机抽取某品牌乳制品企业的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列及1件产品的平均利润；
（Ⅱ）为了提高乳制品的质量，国内某名牌乳制品企业经技术革新，虽然仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，求三等品率最多是多少？
正确答案
（Ⅰ）ξ的取值：6、2、1、-2…（1分）
P（ξ=6）=
P（ξ=1）=
ξ的分布列：
Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34…（6分）
（Ⅱ）设三等品率最多为x．
…（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73
∴x≤0.03
∴三等品率最多为3% …12分）
解析
（Ⅰ）ξ的取值：6、2、1、-2…（1分）
P（ξ=6）=
P（ξ=1）=
ξ的分布列：
Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34…（6分）
（Ⅱ）设三等品率最多为x．
…（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73
∴x≤0.03
∴三等品率最多为3% …12分）
第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是
（Ⅰ）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（Ⅱ）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率．
（Ⅲ）设随机变量X为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件A，
则A的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人x个，1≤x＜6，
那么
解得x=2，即来自美国的2人，来自英国的4人． （4分）
（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从6个人中选2个人，共有C62种结果，
满足条件的事件是从美国人中选一个，从英国人中选一个，共有C41C21种结果
记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件E，那么
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是
（III）由题意知变量X的所有可能值为0，1，2，
根据变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到，
∴变量的分布列为：
（10分）
∴（人）． （12分）
解析
解：（Ⅰ）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件A，
则A的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人x个，1≤x＜6，
那么
解得x=2，即来自美国的2人，来自英国的4人． （4分）
（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从6个人中选2个人，共有C62种结果，
满足条件的事件是从美国人中选一个，从英国人中选一个，共有C41C21种结果
记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件E，那么
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是
（III）由题意知变量X的所有可能值为0，1，2，
根据变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到，
∴变量的分布列为：
（10分）
∴（人）． （12分）
（I）为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从所调查的10000人中抽出100人作电话询访，则在（2000，3500）（元）月工资收入段应抽出多少人？
（II）为刺激消费，政府计划给该地所有工薪阶层的人无偿发放购物消费券，方法如下：月工资不多于2000元的每人可领取5000元的消费券，月工资在（2000，3500）元间的每人可领取2000元的消费券，月工资多于3500元的每人可领取1000元的消费券．用随机变量ξ表示该地某一工薪阶层的人可领取的消费券金额，求ξ的分布列与期望值．
正确答案
解：（I）由直方图可得（2000，3500）（（元）月收入段共有
10000（0.0005+0.0005+0.0003）×500=6500人，
按分层抽样应抽出6500×
（II）根据图表，某一工薪阶层的人可领取的消费券金额ξ=500，2000，1000，对应的概率分别是0.3，0.65，0.05，其分布列如下：
期望Eξ=5000×0.3+2000×0.65+1000×0.05=2850（元）．
解析
解：（I）由直方图可得（2000，3500）（（元）月收入段共有
10000（0.0005+0.0005+0.0003）×500=6500人，
按分层抽样应抽出6500×
（II）根据图表，某一工薪阶层的人可领取的消费券金额ξ=500，2000，1000，对应的概率分别是0.3，0.65，0.05，其分布列如下：
期望Eξ=5000×0.3+2000×0.65+1000×0.05=2850（元）．
（2015春•达州期末）甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场．甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别
是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．
（Ⅰ）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；
（Ⅱ）X表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，
P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48，
P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3=0.42，
P（η=2）=0.72=0.49．
设参加第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A，则
P（A）=0.08×0.09+0.44×0.42+0.48×0.49=0.4272．
答：第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率为0.4272
（Ⅱ）根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
由（Ⅰ）得，P（X=0）=P（A）=0.4272，
P（X=2）=0.48×0.09+0.49×0.08=0.0824，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-0.4272-0.0824=0.4904．
∴X的分布列是
∴E（X）=0×0.4272+1×0.4904+2×0.0824=0.6552
解析
解：（Ⅰ）设ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，
P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48，
P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3=0.42，
P（η=2）=0.72=0.49．
设参加第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A，则
P（A）=0.08×0.09+0.44×0.42+0.48×0.49=0.4272．
答：第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率为0.4272
（Ⅱ）根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
由（Ⅰ）得，P（X=0）=P（A）=0.4272，
P（X=2）=0.48×0.09+0.49×0.08=0.0824，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-0.4272-0.0824=0.4904．
∴X的分布列是
∴E（X）=0×0.4272+1×0.4904+2×0.0824=0.6552
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