- 计数原理
- 共11505题
深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
正确答案
解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2
设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．
因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
P（A0）=P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，
所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．
解析
解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2
设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．
因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
P（A0）=P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，
所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
易知只投掷一次不可能返回到A点．
①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字，
应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P2=（
②若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字，
应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为P3=（
③若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），
其概率为P4=
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：
（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，
且ξ的可能取值为2，3，4．
则P（ξ=2）=
所以，Eξ=2×+3×+4×=．
解析
易知只投掷一次不可能返回到A点．
①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字，
应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P2=（
②若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字，
应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为P3=（
③若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），
其概率为P4=
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：
（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，
且ξ的可能取值为2，3，4．
则P（ξ=2）=
所以，Eξ=2×+3×+4×=．
已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出2粒，若ξ表示取得白子的个数，则ξ的数学期望Eξ=______．
正确答案
解析
解：由题意可知：ξ=0，1，2．
P（ξ=0）=
∴E（ξ）=
故答案为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意得，该题目是几何概型的应用问题，
设阴影部分的面积为S，则
解得S=
故选：D．
某智力测试有5道试题．假定任何智力正常的人答对第i道题的概率是
（1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率及至少答对了的4道试题的概率；
（2）如果甲将这5道试题都答错了，乙答对了的4道试题，答错了1道试题．能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平．请运用所学概率知识表达你的观点．
正确答案
解：（1）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率为
答对了的4道试题的概率为
答对了的5道试题的概率为
∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为
（2）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率P0=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平 （9分）
智力正常的人答对了的4道试题以上的概率P=0.045＜0.05．根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知，假设乙的智力在正常水平，答对了的4道试题的情况几乎不发生．从而可以认定乙的智力高于正常水平． （12分）
解析
解：（1）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率为
答对了的4道试题的概率为
答对了的5道试题的概率为
∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为
（2）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率P0=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平 （9分）
智力正常的人答对了的4道试题以上的概率P=0.045＜0.05．根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知，假设乙的智力在正常水平，答对了的4道试题的情况几乎不发生．从而可以认定乙的智力高于正常水平． （12分）
（1）放置小球满足：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5，且j≠k）使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；
（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法，
满足条件的发放分为两类：
①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有2×
所求的概率为P=
（2）X的可能的值为2，3，4，5．
则：P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
所以X的概率分布列为：
E（X）=2×=．
解析
解：（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法，
满足条件的发放分为两类：
①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有2×
所求的概率为P=
（2）X的可能的值为2，3，4，5．
则：P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
所以X的概率分布列为：
E（X）=2×=．
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n．
（1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
（2）现规定：若m＞n，则甲胜；若n≥m，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
正确答案
解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：
（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则m＞n
当m=3时，n=2，1，0，其概率为
当m=2时，n=1，0，其概率为
当m=1时，n=0，其概率为
∴甲获胜的概率为
若乙获胜，则m≤n
当n=2时，m=2，1，0，其概率为
当n=1时，m=1，0，其概率为
当n=0时，m=0，其概率为
∴乙获胜的概率为
甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．
解析
解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：
（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则m＞n
当m=3时，n=2，1，0，其概率为
当m=2时，n=1，0，其概率为
当m=1时，n=0，其概率为
∴甲获胜的概率为
若乙获胜，则m≤n
当n=2时，m=2，1，0，其概率为
当n=1时，m=1，0，其概率为
当n=0时，m=0，其概率为
∴乙获胜的概率为
甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．
某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：
4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．该4S店进行年末促销活动：每辆汽车按让利10%销售，并送1000元油卡．若以频率作为概率，设促销活动期间，经销一辆汽车的利润为X，则X的数学期望EX=______万元．
正确答案
1.16
解析
解：∵每辆汽车按让利10%销售，并送1000元油卡，
∴促销活动期间分一期付款的利润是0.9×1-0.1=0.8，
分2，3期付款的利润是1.5×0.9-0.1=1.25
分4，5期付款的利润是2×0.9-0.1=1.7
∴X的数学期望EX=0.4×0.8+0.4×1.25+0.2×1.7=1.16（万元）
故答案为：1.16
（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为
P（A）=
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
所以P（B）=
所以某个家庭获奖的概率为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
P（X=0）=C50（
P（X=1）=C51（
P（X=2）=C52（
P（X=3）=C53（
P（X=4）=C54（
P（X=5）=C55（
所以X分布列为：
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的数学期望为．
解析
解：（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为
P（A）=
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
所以P（B）=
所以某个家庭获奖的概率为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
P（X=0）=C50（
P（X=1）=C51（
P（X=2）=C52（
P（X=3）=C53（
P（X=4）=C54（
P（X=5）=C55（
所以X分布列为：
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的数学期望为．
（Ⅰ）列出此人从小区A到H的所有最短路径（自A至H依次用所经过的小区的字母表示）；
（Ⅱ）求他经过市中心O的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）此人从小区A前往H的所有最短路径为：
A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，
A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，
A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，
共6条．
（Ⅱ）记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：
A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，
A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，
共4条．
∴P（M）=
即他经过市中心的概率为
解析
解：（Ⅰ）此人从小区A前往H的所有最短路径为：
A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，
A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，
A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，
共6条．
（Ⅱ）记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：
A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，
A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，
共4条．
∴P（M）=
即他经过市中心的概率为
9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，
则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率．
正确答案
解：（1）∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
∴甲坑不需要补种的概率为
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
解析
解：（1）∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
∴甲坑不需要补种的概率为
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
（1）求p的值．
（2）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）记事件A为“只有甲破译出密码”，
则
（2）X的可能取值为0、1，、2、3；
．
解析
解：（1）记事件A为“只有甲破译出密码”，
则
（2）X的可能取值为0、1，、2、3；
．
一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有63种情况，
其中三次点数依次构成等差数列的情况有18种，穷举如下：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；4，5，6；6，5，4；111；222；333；444；555；666．
∴三次点数依次构成等差数列的概率p=
故选A．
已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=c
正确答案
解析
解：因为随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=c
所以
又因为
所以c=
故答案为：
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
记“甲以4比1获胜”为事件A，
则
（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．
因为，乙以4比2获胜的概率为
乙以4比3获胜的概率为
所以 
（Ⅲ）设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7．
P（X=6）=2
比赛局数的分布列为：
（13分）
解析
解：（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
记“甲以4比1获胜”为事件A，
则
（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．
因为，乙以4比2获胜的概率为
乙以4比3获胜的概率为
所以
（Ⅲ）设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7．
P（X=6）=2
比赛局数的分布列为：
（13分）
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