- 计数原理
- 共11505题
已知随即变量X的概率分布为：
且随即变量X，Y之间满足Y=kX+3，若P（Y=7）=0.4，则实数k=______．
正确答案
2
解析
解：根据分布列得，0.2+0.1+a+0.3=1
解得a=0.4，
由P（Y=7）=0.4，
得Y=k×2+3=7
解得k=2．
故答案为：2．
将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．
正确答案
解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是
解析
解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．
正确答案
（I）解：设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，
又P（A3）=
且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．
解析
（I）解：设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，
又P（A3）=
且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．
袋中有互不相同的6个球．其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，白球l个．从中随机地抽取4个球．
（I）求抽取的4个球恰好有四种颜色的概率；
（II）若取得的4球的颜色为四种时记l0分，三种时记8分，两种时记6分．记随机变量X为所得的分数，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是从6个球中随机的抽取4个，共有C64=15种结果，
满足条件的事件是抽取的4个球恰好有四种颜色，共有C21C21=4种结果，
记A=“选取的4个球恰好有4种颜色”
∴满足条件的概率P=
（II）由题意知X的可能取值是10，6，8
P（X=10）=
P（X=8）=
P（X=6）=
∴变量的分布列为：
∴E（X）=
解析
解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是从6个球中随机的抽取4个，共有C64=15种结果，
满足条件的事件是抽取的4个球恰好有四种颜色，共有C21C21=4种结果，
记A=“选取的4个球恰好有4种颜色”
∴满足条件的概率P=
（II）由题意知X的可能取值是10，6，8
P（X=10）=
P（X=8）=
P（X=6）=
∴变量的分布列为：
∴E（X）=
（Ⅰ） 求合格率在[50，60）内的工人人数；
（Ⅱ）为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70）内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X表示所选工人合格率在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）产品合格率在[50，60）内的频率为：1-（0.035+0.03+0.0225+0.0075）×10=0.05，…（2分）
所以产品合格率在[50，60）内的人数共有40×0.05=2人． …（4分）
（Ⅱ）同（Ⅰ）可得产品合格率在[60，70）内的人数有40×0.0225×10=9，
所以产品合格率在[50，70）内的人数共有11人．
依题意，X的可能取值是1，2，3．…（6分）
P（X=1）=
则X分布列为：
…（11分）
所以EX=1×+2×+3×=．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）产品合格率在[50，60）内的频率为：1-（0.035+0.03+0.0225+0.0075）×10=0.05，…（2分）
所以产品合格率在[50，60）内的人数共有40×0.05=2人． …（4分）
（Ⅱ）同（Ⅰ）可得产品合格率在[60，70）内的人数有40×0.0225×10=9，
所以产品合格率在[50，70）内的人数共有11人．
依题意，X的可能取值是1，2，3．…（6分）
P（X=1）=
则X分布列为：
…（11分）
所以EX=1×+2×+3×=．…（13分）
北京时间2011年3月11日13时46分，在日本东海岸附近海域发生里氏9级地震后引发海啸，导致福岛第一核电站受损严重．3月12日以来，福岛第一核电站的4台机组（编号分别为1、2、3、4）的核反应堆相继发生爆炸，放射性物质泄漏到外部．某评估机构预估日本在十年内修复该核电站第1、2、3、4号机组的概率分别为
（1）求十年内这4台机组中恰有1台机组被修复的概率；
（2）求十年内这4台机组中被修复的机组的总数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）设十年内这4台机组中恰有1台机组被修复的事件为A，则
P（A）=3×
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=
解析
解：（1）设十年内这4台机组中恰有1台机组被修复的事件为A，则
P（A）=3×
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=
已知连续型随机变量x的分布函数为：f（x）=
正确答案
解析
解：∵连续型随机变量x的分布函数为：f（x）=
∴根据面积为概率：
即a=
P（x＜
故答案为：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）由题可知
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…（5分）
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
P（x=200）=
P（x=400）=
P（x=600）=
所以X的分布列为：
EX==…（12分）
解析
解：（1）由题可知
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…（5分）
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
P（x=200）=
P（x=400）=
P（x=600）=
所以X的分布列为：
EX==…（12分）
甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2
（1）求ξ，η的分布列
（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
正确答案
解：（1）依题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1，
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率，1-（0.3+0.3+0.2）=0.2，
ξ，η的分布列为：
（2）利用期望定义得：Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，
Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，
Dξ=0.5×（10-9.2）2+0.3×（9-9.2）2+0.1×（8-9.2）2+0.1×（7-9.2）2=0.96，
Dη=0.3×（10-8.7）2+0.3×（9-8.7）2+0.2×（8-8.7）2+0.2×（7-8.7）2=1.21，
利用期望与方差的几何含义可知：甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定．
解析
解：（1）依题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1，
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率，1-（0.3+0.3+0.2）=0.2，
ξ，η的分布列为：
（2）利用期望定义得：Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，
Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，
Dξ=0.5×（10-9.2）2+0.3×（9-9.2）2+0.1×（8-9.2）2+0.1×（7-9.2）2=0.96，
Dη=0.3×（10-8.7）2+0.3×（9-8.7）2+0.2×（8-8.7）2+0.2×（7-8.7）2=1.21，
利用期望与方差的几何含义可知：甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定．
在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，
由于事件A、B相互独立，且P（A）=
所以选出的4人均选科目乙的概率为：
P（A•B）=P（A）•P（B）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望为：0×
解析
解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，
由于事件A、B相互独立，且P（A）=
所以选出的4人均选科目乙的概率为：
P（A•B）=P（A）•P（B）=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望为：0×
王师傅驾车去超市，途中要经过4个路口，假设在各路口遇到红灯的概率都是
（Ⅰ）求王师傅在第3个路口首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求王师傅在途中因遇到红灯停留的总时间X（秒）的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“王师傅在第3个路口首次遇到红灯”为事件A，则
P（A）=
（Ⅱ）X=0，30，60，90，120，150，则
P（X=0）=
P（X=60）=
P（X=90）=
P（X=120）=
P（X=150）=
X的分布列为
数学期望EX=0×+30×+60×+90×+120×+150×=50．
解析
解：（Ⅰ）设“王师傅在第3个路口首次遇到红灯”为事件A，则
P（A）=
（Ⅱ）X=0，30，60，90，120，150，则
P（X=0）=
P（X=60）=
P（X=90）=
P（X=120）=
P（X=150）=
X的分布列为
数学期望EX=0×+30×+60×+90×+120×+150×=50．
点A从坐标原点出发，每次等可能地或向右、或向左、或向上、或向下平移一个单位．经过4次平移后，点A的坐标是（x，y），此事件发生的概率是p（x，y）．
（1）求p（4，0）和p（3，1）；
（2）求p（2，0）和p（1，1）；
（3）当点A的坐标是（x，y）时，随机变量ξ表示获得64（|x|+|y|）元的奖金，求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）设点A向右、向左、向上、向下平移的次数分别是i、j、k、l（i、j、k、l∈N，i+j+k+l=4）．
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（4，0），
故i-j=4，k-l=0，可得i=4，j=0，k=0，l=0，
∴p（4，0）=
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（3，1）
故i-j=3，k-l=1，可得i=3，j=0，k=1，l=0，
∴p（3，1）=
（2）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，0）
故i-j=2，k-l=0，可得i=3，j=1，k=0，l=0，或i=2，j=0，k=1，l=1
∴p（2，0）=
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（1，1）
故i-j=1，k-l=1，可得i=2，j=1，k=1，l=0，或i=1，j=0，k=2，l=1
∴p（1，1）=
（3）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，2）
故i-j=2，k-l=2，可得i=2，j=0，k=2，l=0，
∴p（2，2）=
解析
解：（1）设点A向右、向左、向上、向下平移的次数分别是i、j、k、l（i、j、k、l∈N，i+j+k+l=4）．
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（4，0），
故i-j=4，k-l=0，可得i=4，j=0，k=0，l=0，
∴p（4，0）=
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（3，1）
故i-j=3，k-l=1，可得i=3，j=0，k=1，l=0，
∴p（3，1）=
（2）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，0）
故i-j=2，k-l=0，可得i=3，j=1，k=0，l=0，或i=2，j=0，k=1，l=1
∴p（2，0）=
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（1，1）
故i-j=1，k-l=1，可得i=2，j=1，k=1，l=0，或i=1，j=0，k=2，l=1
∴p（1，1）=
（3）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，2）
故i-j=2，k-l=2，可得i=2，j=0，k=2，l=0，
∴p（2，2）=
摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望．
正确答案
解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；
当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12．
所以，
Eξ=6×
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
解析
解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；
当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12．
所以，
Eξ=6×
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
在某次抽奖活动中，一个口袋里装有4个白球和4个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（1）求仅一次摸球中奖的概率；
（2）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（3）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设仅一次摸球中奖的概率为P1，则P1=
（2）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则
P2=
（3）ξ的取值可以是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-P1）3=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列如下表
…（12分）
∴…．（14分）
解析
解：（1）设仅一次摸球中奖的概率为P1，则P1=
（2）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则
P2=
（3）ξ的取值可以是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-P1）3=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列如下表
…（12分）
∴…．（14分）
在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答A1、A2、A3三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：
当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答A1、A2、A3的概率分别为
（Ⅰ）按照答题规则，求该选手A1回答正确但所得奖金为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ） 记“A1回答正确A2回答错误”为事件A；“A1、A2回答正确A3回答错误”为事件B；“A1回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，
则P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）
=
（Ⅱ）ξ的取值分别为0、1000、3000、6000，
则
故ξ的分布列为：
∴=0+400+400+200=1000（元）． …（12分）
解析
解：（Ⅰ） 记“A1回答正确A2回答错误”为事件A；“A1、A2回答正确A3回答错误”为事件B；“A1回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，
则P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）
=
（Ⅱ）ξ的取值分别为0、1000、3000、6000，
则
故ξ的分布列为：
∴=0+400+400+200=1000（元）． …（12分）
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