- 计数原理
- 共11505题
一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个，现在从中不放回地随机摸出3个球．
（1）求至少摸出一个红球的概率；
（2）求摸出黑球个数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）至少摸出一个红球的概率为1-P（3个都是黑球）=
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则
∴ξ的分布列为：
∴数学期望
解析
解：（1）至少摸出一个红球的概率为1-P（3个都是黑球）=
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则
∴ξ的分布列为：
∴数学期望
在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A、B、C三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为
（Ⅰ）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；
（Ⅱ）若此选手按A、B、C的顺序答题，求其必答题总分ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，
记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥
又
所以
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，
则
所以，ξ的分布列为
所以ξ的数学期望
解析
解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，
记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥
又
所以
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，
则
所以，ξ的分布列为
所以ξ的数学期望
在一次数学测试中，甲、乙两个小组各12人的成绩如下表：（单位：分）
若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”，其余的等级都记为“合格”．
（Ⅰ）在以上24人中，如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机选出2人，求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；
（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人，用X表示其中乙组的人数，求随机变量X的分布列和的数学期望．
正确答案
解：（I）设“选出的2人中至少有一人等级为“优秀””为事件A．
由于24人中成绩≥90的共有8人，按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，则其中优秀的有2人，其余的4人为合格．
再从这6人中随机选出2人，则P（A）=
（II）由已知可得：等级为“优秀”的人共有8人，其中甲组有5人，乙组有3人．
因此X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
随机变量X的分布列为：
E（X）=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（I）设“选出的2人中至少有一人等级为“优秀””为事件A．
由于24人中成绩≥90的共有8人，按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，则其中优秀的有2人，其余的4人为合格．
再从这6人中随机选出2人，则P（A）=
（II）由已知可得：等级为“优秀”的人共有8人，其中甲组有5人，乙组有3人．
因此X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
随机变量X的分布列为：
E（X）=0×+1×+2×+3×=．
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
P（B1）=2×
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
P（ξ=0）=（
P（ξ=1）=C31×
P（ξ=2）=C32×（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=3×=．
解析
解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
P（B1）=2×
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
P（ξ=0）=（
P（ξ=1）=C31×
P（ξ=2）=C32×（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=3×=．
某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．
（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
（II）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）根据分步计数原理从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，
抽法总数为C101C91C81，
只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为C61C41C31∴
（2）由题意知抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2
∵当ξ=0时，表示没有抽到体育类题目，
当ξ=1时，表示抽到体育类题目有1个
当ξ=2时，表示抽到体育类题目有2个
∴
∴ξ的分布列为：
∴
解析
解：（1）根据分步计数原理从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，
抽法总数为C101C91C81，
只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为C61C41C31∴
（2）由题意知抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2
∵当ξ=0时，表示没有抽到体育类题目，
当ξ=1时，表示抽到体育类题目有1个
当ξ=2时，表示抽到体育类题目有2个
∴
∴ξ的分布列为：
∴
一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
（1）求摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率；
（2）用ξ表示摸出的两个球中的白球个数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，
从中摸出2个球，有
（1）设摸出的两个球中有1个白球和一个红球的事件为A
∵
∴P（A）=
即摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率为
（2）用ξ表示摸出的两个球中的白球个数，
∵ξ=0，1，2，
∴P（ξ=0）=
ξ的分布列：
即ξ的 数学期望为：0×+2×=
解析
解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，
从中摸出2个球，有
（1）设摸出的两个球中有1个白球和一个红球的事件为A
∵
∴P（A）=
即摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率为
（2）用ξ表示摸出的两个球中的白球个数，
∵ξ=0，1，2，
∴P（ξ=0）=
ξ的分布列：
即ξ的 数学期望为：0×+2×=
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．
正确答案
解：（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
可以得到这是一个等可能事件的概率，
记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．
依题意，
∴
∴蜜蜂落入第二实验区的概率为
（2）本题符合独立重复试验，
记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则
∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
∴变量X满足二项分布，即X～
∴随机变量X的数学期望EX=40×
解析
解：（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
可以得到这是一个等可能事件的概率，
记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．
依题意，
∴
∴蜜蜂落入第二实验区的概率为
（2）本题符合独立重复试验，
记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则
∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
∴变量X满足二项分布，即X～
∴随机变量X的数学期望EX=40×
某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：
参考数据
（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）
（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．
正确答案
解：（1）由公式可得b=0.7，a=7.3
所以所求的线性回归方程为：
当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．
（2）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
其分布列为：
所以：EX=1×+2×=，DX=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=…（12分）
解析
解：（1）由公式可得b=0.7，a=7.3
所以所求的线性回归方程为：
当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．
（2）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
其分布列为：
所以：EX=1×+2×=，DX=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=…（12分）
某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张．约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为______．
正确答案
解析
解：从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，共有
其中①出现两个偶数或两个奇数有1，3；2，4．两种情况，两个数的和分别为4，6．
②出现一奇一偶，有1，2；1，4；2，3；3，4．四种情况，则它们的差的绝对值分别为，1，3，1，1．
∴P（ξ=1）=
∴Eξ=
故答案为
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3．
（Ⅰ）求p1，p2，p3的值；
（Ⅱ）记λ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵p1+p2+p3=1，p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3，
∴p1+p2=
（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，则P（λ=0）=
P（λ=20）=
P（λ=40）=
∴λ的分布列为
（Ⅲ）销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值Eλ=0×+100×++200×+300×+400×=240
解析
解：（Ⅰ）∵p1+p2+p3=1，p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3，
∴p1+p2=
（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，则P（λ=0）=
P（λ=20）=
P（λ=40）=
∴λ的分布列为
（Ⅲ）销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值Eλ=0×+100×++200×+300×+400×=240
下表是我市2014年12月18日至31日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，假设此期间恰逢本市创建“全国文明城市”验收评估，专家组随机选择12月18日至29日的某一天到达本市，并住留3天（包括到达的当天）．
（1）请作出18日至31日的空气质量指数变化趋势的拆线图，并由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）．
（2）设x表示专家组停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）如下图：12月20日开始连续3天的空气质量指数方差最大．
（II）X的所有取值有：0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
E（X）=0×=
解析
解：（I）如下图：12月20日开始连续3天的空气质量指数方差最大．
（II）X的所有取值有：0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
E（X）=0×=
两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=______．
正确答案
解析
解：由题意知ξ的取值有0，1，2，
当ξ=0时，即A邮箱的信件数为0，
由分步计数原理知两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，共有3×3种结果，
而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2，
由古典概型公式得到ξ=0时的概率，同理可得ξ=1时，ξ=2时的概率
∴Eξ=
故答案为：
（2015春•宜春校级期末）某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200，
故方差为DX=D（2ξ=）=22•Dξ=4npq=4×1000×0.1×0.9=360，
故选D．
袋中装有红签、白签、黑签各两根，这些签的大小、形状均相同．从中不放回地随机抽取四根签．
（Ⅰ）求抽出的四根签中，至少有一根红签的概率；
（Ⅱ）设抽出的四根签中，白签ξ根，求ξ的分布列，并计算Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设红签至少出现一次的概率为p1，依题意得
（Ⅱ）依题意ξ可取0，1，2…（7分）
而
ξ的分布列为
故…（12分）
解析
解：（Ⅰ）设红签至少出现一次的概率为p1，依题意得
（Ⅱ）依题意ξ可取0，1，2…（7分）
而
ξ的分布列为
故…（12分）
甲、乙两间商店购进同一种商品的价格均为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品的年需求量ξ服从以下分布：
乙商店这种商品的年需求量η服从二项分布η～B（40，0.8）．
若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理；乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依此类推．今年甲、乙两间商店同时购进这种商品40件，根据前5年的销售情况，请你预测哪间商店的期望利润较大？
正确答案
解：根据题意，甲商店这种商品的年需求量数学期望为：
Eξ=10×0.15+20×0.20+30×0.25+40×0.30+50×0.10=30…（4分）
∴甲商店的期望利润为30×（50-30）-（40-30）×（30-25）=550（元） …（6分）
乙商店这种商品的需求量的数学期望为：Eη=40×0.8=32…（8分）
依题意，一年后乙商店剩下的商品亏本金额是以30-25=5为首项，公差为1，项数为40-32=8的等差数列
∴乙商店剩下的商品亏本金额为8×5+
∴乙商店的期望利润为32×（50-30）-68=572（元）＞550（元）…（13分）
答：乙商店的期望利润较大．…（14分）
解析
解：根据题意，甲商店这种商品的年需求量数学期望为：
Eξ=10×0.15+20×0.20+30×0.25+40×0.30+50×0.10=30…（4分）
∴甲商店的期望利润为30×（50-30）-（40-30）×（30-25）=550（元） …（6分）
乙商店这种商品的需求量的数学期望为：Eη=40×0.8=32…（8分）
依题意，一年后乙商店剩下的商品亏本金额是以30-25=5为首项，公差为1，项数为40-32=8的等差数列
∴乙商店剩下的商品亏本金额为8×5+
∴乙商店的期望利润为32×（50-30）-68=572（元）＞550（元）…（13分）
答：乙商店的期望利润较大．…（14分）
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