- 计数原理
- 共11505题
在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会．如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品．已知某参与者答对每道题答对的概率都是
（1）求该参与者获得纪念品的概率；
（2）记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（1）设“参与者获得纪念品”为事件A，则
P（A）=1-P
故该参与者获得纪念品的概率为
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=（
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为
Eξ=2×+3×+4×+5×=．（12分）
解析
解：（1）设“参与者获得纪念品”为事件A，则
P（A）=1-P
故该参与者获得纪念品的概率为
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=（
P（ξ=4）=
故ξ的分布列为
Eξ=2×+3×+4×+5×=．（12分）
一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响．设ξ表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x2-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）分别记“客人参观甲展览馆”，“客人参观乙展览馆”，
“客人参观丙展览馆”为事件A1，A2，A3．由已知A1，A2，A3相互独立，
P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6．
客人参观的展览馆数的可能取值为0，1，2，3．
相应地，客人没有参观的展览馆数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A1•A2•A3）+P（
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1-0.24=0.76，所以ξ的概率分布表为
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48（6分）
（Ⅱ）因为
所以函数f（x）=x2-3ξx+1在区间
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅当
从而
解析
解：（Ⅰ）分别记“客人参观甲展览馆”，“客人参观乙展览馆”，
“客人参观丙展览馆”为事件A1，A2，A3．由已知A1，A2，A3相互独立，
P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6．
客人参观的展览馆数的可能取值为0，1，2，3．
相应地，客人没有参观的展览馆数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A1•A2•A3）+P（
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1-0.24=0.76，所以ξ的概率分布表为
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48（6分）
（Ⅱ）因为
所以函数f（x）=x2-3ξx+1在区间
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅当
从而
2009年5月11日，中国内地出现首例输入性甲型H1N1流感疑似病例．中国进入防控甲型H1N1流感的关键时期，到目前为止，中国在防控方面取得了令人满意的成绩．据统计：公众对我国防控甲型H1N1流感的满意率p，（不满意率为q，p+q=1），现随机从人群中抽出n个人调查对我国防控甲型H1N1流感的满意度，用随机变量x表示调查的这些人中的不满意的人数．
（1）当n=3，p=0.9，列出随机变量X的分布列，并求出随机变量x的数学期望E（X）．
（2）试证明：E（X）=nq．
正确答案
（1）解：由题意得：每次试验中，事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是
故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）证明：任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列
∴E（X）=1×Cn1pn-1q+2×Cn2pn-2q2+…n×Cnnqn
=nq（Cn-10pn-1+Cn-11pn-2q+…+Cn-1n-1qn-1）
=nq（p+q）n-1
=nq
解析
（1）解：由题意得：每次试验中，事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是
故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）证明：任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列
∴E（X）=1×Cn1pn-1q+2×Cn2pn-2q2+…n×Cnnqn
=nq（Cn-10pn-1+Cn-11pn-2q+…+Cn-1n-1qn-1）
=nq（p+q）n-1
=nq
已知f（x）=（1+mx）2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013（x∈R）
（1）若m=
（2）若离散型随机变量X～B（4，
正确答案
解：（1）∵
∴
则：
令x=0得：a0=1，且
（2）∵离散型随机变量
∴m=2，
∴
则两边取导得：
令x=-1得：4026（1-2）2012=a1-2a2+3a3-4a4…+2013a2013
即：-a1+2a2-3a3+4a4-…-2013a2013=-4026；
∴数列{bn}的前2013项的和T2013=-4026．
解析
解：（1）∵
∴
则：
令x=0得：a0=1，且
（2）∵离散型随机变量
∴m=2，
∴
则两边取导得：
令x=-1得：4026（1-2）2012=a1-2a2+3a3-4a4…+2013a2013
即：-a1+2a2-3a3+4a4-…-2013a2013=-4026；
∴数列{bn}的前2013项的和T2013=-4026．
甲、乙两校参加科普知识大赛，每校派出2人参赛，每人回答一个问题，答对者为本校赢得2分，答错的零分，假设甲校派出的2人每人答对的概率都为
（1）求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）事件A：甲、乙两校总分和为4，事件B：甲校总得分不小于乙校总得分，求P（AB）．
正确答案
解：（1）X的取值为0，2，4，则
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+2×+4×=3；
（2）事件AB为如下两个互斥事件的和事件：
事件C：甲校总得分为4分，乙校总得分为0分；事件D：甲校总得分为2分，乙校总得分为2分，
P（C）==，P（D）==，
∴P（AB）=P（C+D）=+=．
解析
解：（1）X的取值为0，2，4，则
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+2×+4×=3；
（2）事件AB为如下两个互斥事件的和事件：
事件C：甲校总得分为4分，乙校总得分为0分；事件D：甲校总得分为2分，乙校总得分为2分，
P（C）==，P（D）==，
∴P（AB）=P（C+D）=+=．
（2016•淮北一模）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
f3（x）=2为偶函数；
f6（x）=xcosx为奇函数…（3分）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
故ξ的分布列为
…（10分）．
∴ξ的数学期望为．…（12分）
解析
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
f3（x）=2为偶函数；
f6（x）=xcosx为奇函数…（3分）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
故ξ的分布列为
…（10分）．
∴ξ的数学期望为．…（12分）
A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为
正确答案
解析
解：由题设知比赛需要的场数ξ为4，5，6，7．
p（ξ=4）=
p（ξ=5）=
p（ξ=6）=
p（ξ=7）=
∴Eξ=
故答案为：
第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是
（Ⅰ）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记速滑岗位至少有一名女大学生志愿者，为事件A，则A的对立事件为“速滑岗位没有一名女大学生志愿者”，设为x人（1≤x＜9），则P（A）=1-
∴（9-x）（8-x）（7-x）=120，∴x=3，
∴女大学生志愿者3人，男大学生志愿者6人，
记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件B，则P（B）=1-
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=2．
解析
解：（Ⅰ）记速滑岗位至少有一名女大学生志愿者，为事件A，则A的对立事件为“速滑岗位没有一名女大学生志愿者”，设为x人（1≤x＜9），则P（A）=1-
∴（9-x）（8-x）（7-x）=120，∴x=3，
∴女大学生志愿者3人，男大学生志愿者6人，
记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件B，则P（B）=1-
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=2．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列．（结果用最简分数）
正确答案
解：（1）由题意得：
∴合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…3分
（2）由题意得ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6…5分
∴ξ的分布列为：
…12分．
解析
解：（1）由题意得：
∴合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…3分
（2）由题意得ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6…5分
∴ξ的分布列为：
…12分．
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．
正确答案
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
所以
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
（Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为-1，0，1，2，
所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．
所以随机变量X的分布列为
所以．
解析
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
所以
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
（Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为-1，0，1，2，
所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．
所以随机变量X的分布列为
所以．
设随机变量X～B（4，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵随机变量X～B（4，
∴DX=4×
故选：C
某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
正确答案
解：∵甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
∴甲、乙、丙考核为不优秀的概率分别为
（1）根据独立事件同时发生的概率求解方法得出：
在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率：
1-
（2）∵随机变量ξ的值为0，20，40，60
∴P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
P（ξ=40）=
P（ξ=60）=
分布列为：
数学期望为：==
解析
解：∵甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
∴甲、乙、丙考核为不优秀的概率分别为
（1）根据独立事件同时发生的概率求解方法得出：
在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率：
1-
（2）∵随机变量ξ的值为0，20，40，60
∴P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
P（ξ=40）=
P（ξ=60）=
分布列为：
数学期望为：==
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生随机抽取2名，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
根据频率分布直方图，
则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人．
并且ξ的可能取值是0，1，2．
则P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
Eξ=0×+1×+2×==1.2
解析
根据频率分布直方图，
则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人．
并且ξ的可能取值是0，1，2．
则P（ξ=0）=
所以ξ的分布列为
Eξ=0×+1×+2×==1.2
甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为
（1）求乙射击的命中率；
（2）若甲射击2次，乙射击1次，两人共命中的次数记为ε，求ε的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B
由题意得
解得
故乙射击的命中率为
（2）由题意和（1）知
ξ可能的取值为0，1，2，3，
故
故ξ的分布列为
由此得ξ的数学期望
解析
解：（1）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B
由题意得
解得
故乙射击的命中率为
（2）由题意和（1）知
ξ可能的取值为0，1，2，3，
故
故ξ的分布列为
由此得ξ的数学期望
某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设选手甲任答一题，正确的概率为P，则P=
记选手甲进入复赛为事件A，则甲选答3道题目后进入复赛的概率为
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，∴
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，∴
∴选手甲进入复赛的概率
（Ⅱ）由题意知，X可取3，4，5，则
P（X=3）=
P（X=5）=
X的分布列
∴----（13分）
解析
解：（Ⅰ）设选手甲任答一题，正确的概率为P，则P=
记选手甲进入复赛为事件A，则甲选答3道题目后进入复赛的概率为
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，∴
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，∴
∴选手甲进入复赛的概率
（Ⅱ）由题意知，X可取3，4，5，则
P（X=3）=
P（X=5）=
X的分布列
∴----（13分）
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