- 计数原理
- 共11505题
一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
（Ⅰ）求X=3的概率；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及X的数学期望，并指出当X为何值时，其概率最大．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得
（Ⅱ）由题意可知X可取的值为1，2，3，4，5，
它们的概率为：
故其分布列为
∴，
当X=4时，其概率最大．
解析
解：（Ⅰ）由题意得
（Ⅱ）由题意可知X可取的值为1，2，3，4，5，
它们的概率为：
故其分布列为
∴，
当X=4时，其概率最大．
质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理．假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉．
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；
一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为
P1=
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为P2=
故所求的概率为P=P1+P2=
（Ⅱ）由题意，随即变量ξ的取值为0，1，2．
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=
解析
解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；
一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为
P1=
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为P2=
故所求的概率为P=P1+P2=
（Ⅱ）由题意，随即变量ξ的取值为0，1，2．
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=
（2015秋•云南校级月考）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
（Ⅰ）求p的值：
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵P（ξ=0）=
∴
∴p=
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
ξ的分布列为
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）∵P（ξ=0）=
∴
∴p=
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
ξ的分布列为
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为
正确答案
解析
解：①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下3种情况：政、史；政、地；地、史．
∴P（ξ=2）=
②根据分布列的性质可得：P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
∴Eξ=0×
故答案为
已知随机变量X的分布列，则随机变量X的方差D（X）=______．
正确答案
解析
解：∵2a+a=1，∴a=
∴Eξ=0×
Dξ=（0-
故答案为：
某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，如图其中次品ξ的概率分布是______．
正确答案
0.9025；0.095；0.0025
解析
解：由题意知本题包含的电子元件比较多，其产品的次品率为5%，
可以理解为独立重复试验，
当ξ=0时，表示没有抽到次品，
P（ξ=0）=C20×0.952=0.9025，
P（ξ=1）=C21×0.05×0.95=0.095，
P（ξ=2）=C22×0.052=0.0025，
故答案为：0.9025；0.095；0.0025．
在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为______．
正确答案
解析
解：∵将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，
∴样本的方差是1002×3，
∴总体的标准差为100
故答案为：100
某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．
（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；
（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，
则
因为事件A，B互斥，
所以
故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是
（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．
其中
所以ξ的分布列是：
所以．
解析
解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，
则
因为事件A，B互斥，
所以
故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是
（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．
其中
所以ξ的分布列是：
所以．
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：由随机变量的分布列知，
9c2-c≥0，3-8c≥0，
9c2-c+3-8c=1，
∴c=
故选C
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（1）求当天商品不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型．
正确答案
解：（1）∵当天商品不进货包含“当天商品销售量为0件”与“当天的商品销售量为1件”两种情况，
∴P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天的商品销售量为1件”）
=
（2）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）
=
故X的分布列
X的数学期望为EX=+=．
解析
解：（1）∵当天商品不进货包含“当天商品销售量为0件”与“当天的商品销售量为1件”两种情况，
∴P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天的商品销售量为1件”）
=
（2）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）
=
故X的分布列
X的数学期望为EX=+=．
某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品．某位教师二分球的命中率是
（Ⅰ）求该教师恰好投中四个球的概率；
（Ⅱ）记该教师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，
∴概率是
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，
P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
∴ξ的分布列是
数学期望是=．
解析
解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，
∴概率是
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，
P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
∴ξ的分布列是
数学期望是=．
甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为
正确答案
解析
解：由题意知命中目标的人数为ξ可能取值是0、1、2，
当ξ=0时，表示两个人都没有射中目标，
由于甲、乙命中与否相互独立，
∴P（ξ=0）=（1-
P（ξ=1）=（1-
P（ξ=2）=
∴Eξ=0×
故答案为：
已知X的分布列为
设Y=2X+3．则EY=______．
正确答案
解析
解：由条件中所给的随机变量的分布列可知
EX=-1×
∵E（2X+3）=2EX+3，
∴E（2X+3）=2×（-
故答案为：
从集合{1，2，3，…，n}的所有非空子集中等可能的取出一个．
（Ⅰ）记性质t：集合中所有元素之和为m（m＜n且m为偶数），求取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率；
（Ⅱ）记所有取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望．
正确答案
解：（I）记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，则基本事件数是2n-1个．
当n=3时，{1，2，3}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=4时，{1，2，3，4}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=5时，{1，2，3，4，5}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=6时，{1，2，3，4，5，6}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=7时，{1，2，3，4，5，6，7}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}；
当n=8时，{1，2，3，4，5，6，7，8}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}．
…，由以上可得：当n=2k-1或2k（k≥2）时，满足性质r的集合只有1+2+…+（k-1）=
∴取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率P=
（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的总数是2n-1个．
ξ的分布列是：
其数学期望为E（ξ）==．
解析
解：（I）记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，则基本事件数是2n-1个．
当n=3时，{1，2，3}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=4时，{1，2，3，4}，其中满足性质r的集合只有一个{2}；
当n=5时，{1，2，3，4，5}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=6时，{1，2，3，4，5，6}，其中满足性质r的集合只有3个{2}，{4}，{1，3}；
当n=7时，{1，2，3，4，5，6，7}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}；
当n=8时，{1，2，3，4，5，6，7，8}，其中满足性质r的集合只有6个{2}，{4}，{6}，{1，3}，{1，5}，
{2，4}．
…，由以上可得：当n=2k-1或2k（k≥2）时，满足性质r的集合只有1+2+…+（k-1）=
∴取出的是至多含有2个元素且满足性质t的非空子集的概率P=
（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，…，n，基本事件的总数是2n-1个．
ξ的分布列是：
其数学期望为E（ξ）==．
从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．
（1）求概率
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有
因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为
正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6=12条．
因此
（2）随机变量ξ的取值共有1，
正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是
从而
所以随机变量ξ的分布列是
…（8分）
因此． …（10分）
解析
解：（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有
因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为
正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6=12条．
因此
（2）随机变量ξ的取值共有1，
正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是
从而
所以随机变量ξ的分布列是
…（8分）
因此． …（10分）
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