- 计数原理
- 共11505题
已知一颗质地均匀的正方体骰子，其6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现将其投掷3次，
（1）求所出现最大点数不大于3的概率；
（2）求所出现最大点数恰为3的概率．
（3）设所出现的最大点数为ξ，求ξ的期望值．
正确答案
解：（1）每一颗骰子所出现点数介于1至3之间的概率为
（2）所求概率等于由最大点不大于3的概率减去最大点数不大于2的概率
即P=
（3）由（2）可知所出现最大点数为
则ξ的分布列为
则最大点数ξ的期望值．…（12分）
解析
解：（1）每一颗骰子所出现点数介于1至3之间的概率为
（2）所求概率等于由最大点不大于3的概率减去最大点数不大于2的概率
即P=
（3）由（2）可知所出现最大点数为
则ξ的分布列为
则最大点数ξ的期望值．…（12分）
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）从这10个数据中抽取3天的数据，求至少有1天空气质量超标的概率；
（Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况，记ξ表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可知
解得x=6；
（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为
至少有一天空气质量超标的概率为1-
（Ⅲ）ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
所以数学期望E（ξ）=．
解析
解：（Ⅰ）由题意可知
解得x=6；
（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为
至少有一天空气质量超标的概率为1-
（Ⅲ）ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
所以数学期望E（ξ）=．
选聘高校毕业生到村任职，是党中央作出的一项重大决策，这对培养社会主义新农村建设带头人、引导高校毕业生面向基层就业创业，具有重大意义．为了响应国家号召，某大学决定从符合条件的6名（其中男生4人，女生2人）报名大学生中选择3人，到某村参加村委会主任应聘考核．
（Ⅰ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
正确答案
解：（I）ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=1．
（II）设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C，
“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B
从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为n（A）=C52=10，
男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为n（AB）=C41=4，
∴P（C）====
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．
解析
解：（I）ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=1．
（II）设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C，
“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B
从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为n（A）=C52=10，
男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为n（AB）=C41=4，
∴P（C）====
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．
有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则DX=______．
正确答案
解析
解：∵X～B（3，
∴DX=3×
故答案为：
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）=
故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率
（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．
P（X=0）=
所以，随机变量X的分布列为：
…（12分）
．…（14分）
解析
解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）=
故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率
（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．
P（X=0）=
所以，随机变量X的分布列为：
…（12分）
．…（14分）
现将三双不同品牌的鞋排成一行，记同一双鞋相邻的数目为ξ．
（1）求ξ=0时的概率
（2）求ξ的分布列与期望．
正确答案
解：（1）ξ=0表示没有任何一双鞋相邻，
6只鞋全排列：|s|=6!，
Ai表示第i双相邻的排列|Ai|=2•5!，
|Ai•Aj|=22•4!，|Ai•AJ•Ak|=23•3!，
|
=10×4!，
所以P（ξ=0）=
（2）有2双鞋相邻时，P（ξ=2）=
有3双鞋相邻时，P（ξ=3）=
则只有一双鞋相邻时，P（ξ=1）=
ξ的分布列为：
E（ξ）=．
解析
解：（1）ξ=0表示没有任何一双鞋相邻，
6只鞋全排列：|s|=6!，
Ai表示第i双相邻的排列|Ai|=2•5!，
|Ai•Aj|=22•4!，|Ai•AJ•Ak|=23•3!，
|
=10×4!，
所以P（ξ=0）=
（2）有2双鞋相邻时，P（ξ=2）=
有3双鞋相邻时，P（ξ=3）=
则只有一双鞋相邻时，P（ξ=1）=
ξ的分布列为：
E（ξ）=．
（1）求直方图中x的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）现有6名上学路上时间小于40分钟的新生，其中2人上学路上时间小于20分钟．从这6人中任选2人，设这2人中上学路上时间小于20分钟人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由直方图可得：
20×x+0.0125×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.025．…（2分）
（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：
0.003×2×20=0.12…（4分）
因为1000×0.12=120
所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿．…（6分）
（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．…（7分）
P（X=0）=
所以X的分布列为：
…（11分）
EX=0×+1×+2×=…（12分）
解析
解：（1）由直方图可得：
20×x+0.0125×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.025．…（2分）
（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：
0.003×2×20=0.12…（4分）
因为1000×0.12=120
所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿．…（6分）
（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．…（7分）
P（X=0）=
所以X的分布列为：
…（11分）
EX=0×+1×+2×=…（12分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望．
正确答案
解：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球．
因此它的概率P是：
（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2.
ξ的分布列为：
…（9分）
…（12分）
解析
解：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球．
因此它的概率P是：
（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2.
ξ的分布列为：
…（9分）
…（12分）
在某校学生趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知学生甲投进每个球的概率都是
（I）求学生甲在一场比赛中获奖的概率；
（II）记学生甲在一场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设学生甲在一场比赛中获奖为事件A，
则P（A）=
故学生甲在一场比赛中获奖的概率为
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6
由条件可知X～B（6，
故X的分布列为
故EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×==4
（当然若只求期望不写分布列可得EX=6×=4）．
解析
解：（Ⅰ）设学生甲在一场比赛中获奖为事件A，
则P（A）=
故学生甲在一场比赛中获奖的概率为
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6
由条件可知X～B（6，
故X的分布列为
故EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×==4
（当然若只求期望不写分布列可得EX=6×=4）．
一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
（Ⅰ）求ξ=3的概率；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=C
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
故ξ的概率分布列为：
∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=…（13分）
解析
解：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=C
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
故ξ的概率分布列为：
∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=…（13分）
某同学进行一项闯关游戏，规则如下：游戏共三道关，闯每一道关通过，方可去闯下一道关，否则停止；同时规定第i（i=1，2，3）次闯关通过得i分，否则记0分．已知该同学每道关通过的概率都为0.8，且不受其它因素影响．
（1）求该同学恰好得3分的概率；
（2）设该同学停止闯关时所得总分为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记Ai为事件“该同学闯第i关并通过”（i=1，2，3），则P（Ai）=0.8，P（
由题意，Ai（i=1，2，3）相互独立
该同学恰好得3分，说明该同学恰好通过第二道关，闯第三道关失败
∴所求的概率为
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，3，6
P（X=0）=0.2，P（X=1）=0.8×0.2=0.16，P（X=3）=0.8×0.8×0.2=0.128，P（X=6）=0.83=0.512
∴X的分布列为
∴E（X）=0×0.2+1×0.16+3×0.128+6×0.512=3.616．
解析
解：（1）记Ai为事件“该同学闯第i关并通过”（i=1，2，3），则P（Ai）=0.8，P（
由题意，Ai（i=1，2，3）相互独立
该同学恰好得3分，说明该同学恰好通过第二道关，闯第三道关失败
∴所求的概率为
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，3，6
P（X=0）=0.2，P（X=1）=0.8×0.2=0.16，P（X=3）=0.8×0.8×0.2=0.128，P（X=6）=0.83=0.512
∴X的分布列为
∴E（X）=0×0.2+1×0.16+3×0.128+6×0.512=3.616．
某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：
学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．
（1）求理科组恰好记4分的概率？
（2）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知本题符合古典概型，
记“理科组恰好记（4分）”的事件为A，
试验发生包含的基本事件数为C93•C51+C92•C52+C91•C53=870
而满足条件的A为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”共有C52•C41•C51+C42•C52=260种选法，
根据古典概型公式得到
∴
（Ⅱ）由题意得ξ=0，1，2，3，
∴
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
解析
解：（Ⅰ）由题意知本题符合古典概型，
记“理科组恰好记（4分）”的事件为A，
试验发生包含的基本事件数为C93•C51+C92•C52+C91•C53=870
而满足条件的A为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”共有C52•C41•C51+C42•C52=260种选法，
根据古典概型公式得到
∴
（Ⅱ）由题意得ξ=0，1，2，3，
∴
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分．根据以往经验，每局甲赢的概率为
（Ⅰ）求A3=5的概率；
（Ⅱ）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行下一局比赛．设随机变量ξ表示此次比赛总共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）A3=5，即前3局甲2胜1平．
由已知甲赢的概率为
∴A3=5的概率为
（Ⅱ）设乙第n局的得分记为bn，
令Bn=b1+b2+…+bn，可知an+bn=2，
ξ的可能取值有2，3，4．
P（ξ=3）=P（A3=4）+P（B3=4）
=
ξ的分布列为：
∴．
解析
解：（Ⅰ）A3=5，即前3局甲2胜1平．
由已知甲赢的概率为
∴A3=5的概率为
（Ⅱ）设乙第n局的得分记为bn，
令Bn=b1+b2+…+bn，可知an+bn=2，
ξ的可能取值有2，3，4．
P（ξ=3）=P（A3=4）+P（B3=4）
=
ξ的分布列为：
∴．
口袋中有1个红球、2个黄球、3个白球、3个黑球共9个球，从中任取3个球．
（1）求取出的球的颜色不全相同的概率；
（2）记ξ为取出的球的颜色的种数，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解（Ⅰ）因为取出的球颜色相同有2种可能取出的全是白球，或者全是黑球．
故颜色相同的概率为
故颜色不全相同的概率P=1-
（Ⅱ）因为ξ有三种取值，1、2、3
故可求得：
故
解析
解（Ⅰ）因为取出的球颜色相同有2种可能取出的全是白球，或者全是黑球．
故颜色相同的概率为
故颜色不全相同的概率P=1-
（Ⅱ）因为ξ有三种取值，1、2、3
故可求得：
故
设离散型随机变量X的概率分布如下：则X的数学期望为______．
正确答案
解析
解：由分布列的性质可得
解之可得p=
故X的数学期望：
EX=
故答案为：
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