- 计数原理
- 共11505题
有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y，令X=x•y．
（Ⅰ）求X所取各值的概率；
（Ⅱ）求X的分布列，并求出X的数学期望值．
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）X的分布列为
所以X的数学期望为．…（7分）
解析
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）X的分布列为
所以X的数学期望为．…（7分）
射击比赛中，每位射手射击队10次，每次一发，击中目标得3分，未击中目标得0分，每射击一次，凡参赛者加2分，已知小李击中目标的概率为0.8．
（1）设X为小李击中目标的次数，求X的概率分布；
（2）求小李在比赛中的得分的数学期望与方差．
正确答案
解：（1）X的概率分布为
（2）设小李在比赛中的得分为Y，由（1）知满足二项分布X～B（10，0.8）
所以E（Y）=E（3X+2）=3E（X）+2=3×10×0.8+2=26，
D（Y）=D（3X+2）=9D（X）=9×10×0.8×0.2=14.4，
解析
解：（1）X的概率分布为
（2）设小李在比赛中的得分为Y，由（1）知满足二项分布X～B（10，0.8）
所以E（Y）=E（3X+2）=3E（X）+2=3×10×0.8+2=26，
D（Y）=D（3X+2）=9D（X）=9×10×0.8×0.2=14.4，
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为
（2）
ξ的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ξ=8）=0.22=0.04，
P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ξ=16）=0.32=0.09．
∴ξ的分布列为
∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）
解析
解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为
（2）
ξ的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ξ=8）=0.22=0.04，
P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ξ=16）=0.32=0.09．
∴ξ的分布列为
∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）
某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？
正确答案
（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x1和x2．
∵x1=1，2，3，
P（x1=2）=
P（x1=3）=
∴甲考生正确完成题数x1的概率分布列为
∵x2=0，1，2，3，且，
P（x2=1）==，
，
，
∴乙考生正确完成题数x2的概率分布列为：
（2）∵，
Ex2==2，
∴Ex1=Ex2，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵×=，
+，
∴Dx1＜Dx2，这表明x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
解析
（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x1和x2．
∵x1=1，2，3，
P（x1=2）=
P（x1=3）=
∴甲考生正确完成题数x1的概率分布列为
∵x2=0，1，2，3，且，
P（x2=1）==，
，
，
∴乙考生正确完成题数x2的概率分布列为：
（2）∵，
Ex2==2，
∴Ex1=Ex2，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵×=，
+，
∴Dx1＜Dx2，这表明x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练，现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；
乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5．
（1）现要从中选派一人参见奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；
（2）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）．
正确答案
解：（1）
S甲=
≈0.52，
S乙≈0.64；
甲射击选手更稳定一些，故派甲选手参加合理．
（2）对于乙射击选手，每次射击不低于8.5分的概率为
故ξ分布列为
故E（ξ）=+×2+×3=．
解析
解：（1）
S甲=
≈0.52，
S乙≈0.64；
甲射击选手更稳定一些，故派甲选手参加合理．
（2）对于乙射击选手，每次射击不低于8.5分的概率为
故ξ分布列为
故E（ξ）=+×2+×3=．
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．
所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …（4分）
其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． …（6分）
所以所求的概率
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …（12分）
解析
解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．
所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …（4分）
其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． …（6分）
所以所求的概率
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …（12分）
气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：
（Ⅰ）求Y，Z的值；
（Ⅱ）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
（Ⅲ）在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，P（t≤32°C）=0.9，∴P（t＞32°C）=1-P（t≤32°C）=0.1
∴Z=30×0.1=3，Y=30-（6+12+3）=9；
（Ⅱ）P（28°C＜t≤32°C）=
六月份西瓜日销售额的分布列为
∴EX=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5
DX=（2-5）2×0.2+（5-2）2×0.4+（6-2）2×0.3+（8-2）2×0.1=13.8；
（Ⅲ）∵P（t≤32°C）=0.9，P（22°C＜t≤32°C）=0.4+0.3=0.7
∴由条件概率得P（X≥5|t≤32°C）=P（22°C＜t≤32°C|t≤32°C）=
解析
解：（Ⅰ）由题意，P（t≤32°C）=0.9，∴P（t＞32°C）=1-P（t≤32°C）=0.1
∴Z=30×0.1=3，Y=30-（6+12+3）=9；
（Ⅱ）P（28°C＜t≤32°C）=
六月份西瓜日销售额的分布列为
∴EX=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5
DX=（2-5）2×0.2+（5-2）2×0.4+（6-2）2×0.3+（8-2）2×0.1=13.8；
（Ⅲ）∵P（t≤32°C）=0.9，P（22°C＜t≤32°C）=0.4+0.3=0.7
∴由条件概率得P（X≥5|t≤32°C）=P（22°C＜t≤32°C|t≤32°C）=
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）茎叶图如下：
学生乙成绩中位数为84，…（4分）
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
+（92-85）2+（95-85）2]=35.5
+（92-85）2+（95-85）2]=41，…（7分）
∵
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．…（8分）
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则P（A）=
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
且ξ服从B（3，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=np=3×=．
解析
解：（1）茎叶图如下：
学生乙成绩中位数为84，…（4分）
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
+（92-85）2+（95-85）2]=35.5
+（92-85）2+（95-85）2]=41，…（7分）
∵
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．…（8分）
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则P（A）=
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
且ξ服从B（3，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=np=3×=．
证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过
正确答案
证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，
∵ξ的可能取值为0或1，
又设事件在一次试验中发生的概率为p，
则P（ξ=0）=1-p，
P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p，
∴Dξ=（1-p）•（0-p）2+p（1-p）2=p（1-p）≤（
∴事件在一次试验中发生的次数的方差不超过
解析
证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，
∵ξ的可能取值为0或1，
又设事件在一次试验中发生的概率为p，
则P（ξ=0）=1-p，
P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p，
∴Dξ=（1-p）•（0-p）2+p（1-p）2=p（1-p）≤（
∴事件在一次试验中发生的次数的方差不超过
已知随机变量X的分布列如下：
则a=______；D（X）的值是______．
正确答案
1
解析
解：由分布列性质得：
所以a=
所以EX=
所以D（X）=
故答案为：
《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为
正确答案
6
解析
解：设该台每小时约有t分钟的广告，则有（60-t）分钟不是广告；
由几何概型，可得任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为
根据题意，有
解可得，t=6；
故答案为：6．
一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：从7个球中任意摸出两个球，共有
摸出的俩个球都是白球，共有
故P（x=0）=
故选A
已知集合A={x|x2-7x+6≤0，x∈N*}，集合B={x||x-3|≤3．x∈N*}，集合M={（x，y）|x∈A，y∈B}
（1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；
（2）从集合M中任取一个元素，求x+y≥10的概率；
（3）设ξ为随机变量，ξ=x+y，写出ξ的分布列，并求Eξ．
正确答案
解：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=
所以从M中任取一个元素是（3，5）的概率为
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
则P（C）=
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
ξ的分布列为
Eξ=2×++8×=7
解析
解：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=
所以从M中任取一个元素是（3，5）的概率为
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
则P（C）=
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
ξ的分布列为
Eξ=2×++8×=7
某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖．求：
（Ⅰ）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；
（Ⅱ）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值．
正确答案
解：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），
其中1≤x，y≤6，
则获一等奖只有（6，6）一种可能，
其概率为：
获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，
其概率为：
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，
则有：P（A）=
故同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率为
（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，
则ξ的可能取值为30-a，-70，0，30，
P（ξ=30-a）=
P（ξ=-70）=
Pξ=0）=
P（ξ=30）=
其分布列为：
…（7分）
则：Eξ=； …（12分）
由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310元的奖品．
故该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，a的值就为310元．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），
其中1≤x，y≤6，
则获一等奖只有（6，6）一种可能，
其概率为：
获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，
其概率为：
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，
则有：P（A）=
故同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率为
（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，
则ξ的可能取值为30-a，-70，0，30，
P（ξ=30-a）=
P（ξ=-70）=
Pξ=0）=
P（ξ=30）=
其分布列为：
…（7分）
则：Eξ=； …（12分）
由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310元的奖品．
故该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，a的值就为310元．…（13分）
“5、12”汶川地震后，为支持灾区教育，某市有甲、乙、丙等六名教师志愿者，被随机地分到灾区A、B、C、D、E五个不同的乡镇执教，且每个乡镇至少有一名教师．
（Ⅰ）求甲、乙两位教师同时分到A乡镇的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两位教师不在同一个乡镇的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这六名教师中分到A镇的人数，求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时分到A乡镇为事件EA，
总事件数是从6个人中选2个作为一组，同其他4人共5个元素在5个位置进行排列C62A55．
满足条件的事件数是A44，
那么P（EA）=
即甲、乙两人同时分到A乡镇的概率是 
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一乡镇为事件E，
满足条件的事件数是A55，
那么P（E）=
∴甲、乙两人不在同一乡镇的概率是P（ 
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时分到A乡镇，
则P（ξ=2）=
∴P（ξ=1）=1-P（ξ=2）=
∴ξ的分布列是：
．
解析
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时分到A乡镇为事件EA，
总事件数是从6个人中选2个作为一组，同其他4人共5个元素在5个位置进行排列C62A55．
满足条件的事件数是A44，
那么P（EA）=
即甲、乙两人同时分到A乡镇的概率是
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一乡镇为事件E，
满足条件的事件数是A55，
那么P（E）=
∴甲、乙两人不在同一乡镇的概率是P（
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时分到A乡镇，
则P（ξ=2）=
∴P（ξ=1）=1-P（ξ=2）=
∴ξ的分布列是：
．
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