- 计数原理
- 共11505题
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，
设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
∴
（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．
得到变量对应的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
∴η的分布列为
∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．
解析
解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，
设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
∴
（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．
得到变量对应的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
∴η的分布列为
∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．
设随机变量ξ的概率分布列为
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ的概率分布列为
∴c（
∴c=
∴P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=（
故答案为：
随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10且P（ξ=k）=ak（k=1，2，…，10），则a值为（ ）
A
B
C110
D55
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10
且P（ξ=k）=ak（k=1，2，…，10），
∴a+2a+3a+…+10a=1
∴55a=1，
∴a=
故选B
某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动．假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；
（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；
（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX．
正确答案
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有43=64种．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为
（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3
所以
所以X的分布列如下：
故数学期望．（14分）
解析
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有43=64种．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为
（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3
所以
所以X的分布列如下：
故数学期望．（14分）
一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
（Ⅰ）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；
（Ⅱ）记x表示抽检的产品件数，求x的概率分布列．
正确答案
（I）解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，
从这箱产品被接受入手，
设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为
则由对立事件概率公式
∴
∴这箱产品被用户拒绝接收的概率为
（II）解：ξ的可能取值为1，2，3．
∵当ξ=1时，表示第一次抽到一个次品，
当ξ=2时，表示第一次抽到一个正品，第二次抽到一个次品，
当ξ=3时，表示第一、二次抽到都是正品，第三次抽到一个次品，
∴
∴ξ的分布列为
解析
（I）解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，
从这箱产品被接受入手，
设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为
则由对立事件概率公式
∴
∴这箱产品被用户拒绝接收的概率为
（II）解：ξ的可能取值为1，2，3．
∵当ξ=1时，表示第一次抽到一个次品，
当ξ=2时，表示第一次抽到一个正品，第二次抽到一个次品，
当ξ=3时，表示第一、二次抽到都是正品，第三次抽到一个次品，
∴
∴ξ的分布列为
设相互独立的X和Y具有同一分布律，且P（X=0）=P（X=1）=
正确答案
解析
解：∵相互独立的X和Y具有同一分布律，且P（X=0）=P（X=1）=
∴当x=0，y=0时，z=0，p=0.5×0.5=0.25，
当x=0，y=1时，z=0，p=0.5×0.5=0.25
当x=1，y=0时，z=0，p=0.5×0.5=0.25，
当x=1，y=1时z=1，p=0.5×0.5=0.25
所以，z=0时，p=0.75，
z=1时，p=0.25．
故答案为：0.75；0.25．
盒中装有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分步列．
正确答案
解：X的所有可能取值为3，4，5，6．
P（X=3）=
P（X=4）=
所以X的分布列为
解析
解：X的所有可能取值为3，4，5，6．
P（X=3）=
P（X=4）=
所以X的分布列为
现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是
正确答案
解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则
∴P（A）=1-P（
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
X的分布列为
EX=
解析
解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则
∴P（A）=1-P（
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
X的分布列为
EX=
某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，表中是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是______（元）．
正确答案
4760
解析
解：∵由题意知本题投资成功的概率是
投资成功的收益是50000×12%，
投资失败的损失是50000×0.5
该公司一年后估计可获收益的期望是50000×12%×
故答案为：4760
求：（l）P（ξ＜1），P（ξ≤1），P（ξ＜2），P（ξ≤2）；
（2）P（x）=P（ξ≤x），x∈R．
正确答案
解：（1）根据所给的分布列可知
∴m=
∴P（ξ＜1）=0
P（ξ≤1）=P（ξ=1）=
P（ξ＜2）=P（ξ≤1）=P（ξ=1）=
P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=
（2）根据所给的分布列和第一问做出的结果，
得到P（X）=
P（X）=
P（X）=
p（X）=1，（X≥3）
解析
解：（1）根据所给的分布列可知
∴m=
∴P（ξ＜1）=0
P（ξ≤1）=P（ξ=1）=
P（ξ＜2）=P（ξ≤1）=P（ξ=1）=
P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=
（2）根据所给的分布列和第一问做出的结果，
得到P（X）=
P（X）=
P（X）=
p（X）=1，（X≥3）
由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为 60×（
（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1-
（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列为
∴EX=+2+3×=．
解析
解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为 60×（
（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1-
（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列为
∴EX=+2+3×=．
（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB；
（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及数学期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
表一
表二
正确答案
解：（1）根据所给的产品的总数和由茎叶图知每一种一等品的件数，
得到A、B两种产品为一等品的概率，
（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴随机变量ξ、η的分布列
∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由题设知
作出可行域如图所示
作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程组
即x=4，y=3时，z取最大值，最大值是22.85
解析
解：（1）根据所给的产品的总数和由茎叶图知每一种一等品的件数，
得到A、B两种产品为一等品的概率，
（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴随机变量ξ、η的分布列
∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由题设知
作出可行域如图所示
作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程组
即x=4，y=3时，z取最大值，最大值是22.85
一个袋中有6个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出三个球，以X表示取出球的最大号码．
（Ι）X 可能的取值有哪些？
（Ⅱ）求X的分布列．
（Ⅲ）求X为偶数的概率．
正确答案
解：（I）由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
（II）∵由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
∴P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
P（X=6）=
∴X的分布列为
（III）由题意知本题是一个互斥事件的概率，X为偶数包括两种情况一是X=4，二是X=6
这两种情况是互斥的，
∴取到的最大数是偶数的概率是
解析
解：（I）由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
（II）∵由题意知X的可能取值是3，4，5，6．
∴P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
P（X=6）=
∴X的分布列为
（III）由题意知本题是一个互斥事件的概率，X为偶数包括两种情况一是X=4，二是X=6
这两种情况是互斥的，
∴取到的最大数是偶数的概率是
若离散型随机变量X的分布表如右图所示，则常数c=______．
正确答案
解析
解：根据分布列的性质可以得到9c2-c+3-8c=1
∴9c2-9c+2=0
∴c=
当c=
不合题意，
故答案为：
某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为
（I）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和为20分的概率．
正确答案
解：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-
P（X=20）=
P（X=40）=
故所求的数学期望EX==；
（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，
则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）==，P（C）==，P（D）==，
故P（A）=P（B+C+D）==
解析
解：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-
P（X=20）=
P（X=40）=
故所求的数学期望EX==；
（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，
则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）==，P（C）==，P（D）==，
故P（A）=P（B+C+D）==
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