- 计数原理
- 共11505题
将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体．
（Ⅰ）从这些小正方体中任取1个，求其中至少有两面涂有颜色的概率；
（Ⅱ）从中任取2个小正方体，记2个小正方体涂上颜色的面数之和为ξ．求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．…（3分）
（Ⅰ） 从这些小正方体中任取1个，含有面数为i的事件为Ai（i=0，1，2，3），
则其中至少有两面涂颜色的概率P=P（A2）+P（A3）=
（Ⅱ）根据题意，ξ的分布列为：
…（10分）
ξ的数学期望为Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=4．…（12分）
解析
解：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．…（3分）
（Ⅰ） 从这些小正方体中任取1个，含有面数为i的事件为Ai（i=0，1，2，3），
则其中至少有两面涂颜色的概率P=P（A2）+P（A3）=
（Ⅱ）根据题意，ξ的分布列为：
…（10分）
ξ的数学期望为Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=4．…（12分）
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．
正确答案
解：解法一：（Ⅰ）P=1-
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．
且P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
P（ξ=60）=
故ξ有分布列：
从而期望Eξ=0×+10×+20×+50×+60×=16．
解法二：
（Ⅰ）P===，
（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ=2×8=16（元）．
解析
解：解法一：（Ⅰ）P=1-
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．
且P（ξ=0）=
P（ξ=20）=
P（ξ=60）=
故ξ有分布列：
从而期望Eξ=0×+10×+20×+50×+60×=16．
解法二：
（Ⅰ）P===，
（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ=2×8=16（元）．
吉安市某校高二年级抽取了20名学生的今年三月、四月、五月三个月的月考的数学、化学成绩，计算了他们三次成绩的平均分如下表：
该校规定数学（≥120分）为优秀，化学（≥80分）为优秀，其余为不优秀．
（1）从这20名学生中随机抽取2名，用X表示数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过10%的前提下认为化学成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关？
正确答案
解：（1）由已知可得：数学成绩优秀的人数为7，数学成绩不优秀的人数为13，
则X可能取的值为0，1，2；（1分）
且
则X的分布列为
且
（2）由已知可得：这名学生数学优秀及不优秀，化学优秀及不优秀的人数如下表
（8分）
则：
则：可以认为在犯错误的概率不超过10%的前提下化学成绩优秀和数学成绩优秀有关．（12分）
解析
解：（1）由已知可得：数学成绩优秀的人数为7，数学成绩不优秀的人数为13，
则X可能取的值为0，1，2；（1分）
且
则X的分布列为
且
（2）由已知可得：这名学生数学优秀及不优秀，化学优秀及不优秀的人数如下表
（8分）
则：
则：可以认为在犯错误的概率不超过10%的前提下化学成绩优秀和数学成绩优秀有关．（12分）
已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）如图所示，
设“满足|PH|
则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=
∴P（M）=
故满足|PH|＜
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到
其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于
FH；长度等于
∴ξ的所有可能的取值为1，
则P（ξ=1）=
随机变量ξ的分布列为
Eξ=
解析
解：（1）如图所示，
设“满足|PH|
则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=
∴P（M）=
故满足|PH|＜
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到
其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于
FH；长度等于
∴ξ的所有可能的取值为1，
则P（ξ=1）=
随机变量ξ的分布列为
Eξ=
某次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试．一旦测试通过，就不再参加余下的测试，否则一直参加完四次测试为止．已知运动员甲的每次通过率为0.7（假定每次通过率相同）．设运动员甲参加测试的次数为ξ．
（1）求运动员甲最多参加两次测试的概率（精确到0.1）
（2）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）
=0.7+0.21
=0.91．
（2）ξ的可能取值为1，2，3，4，
当ξ=1时，P（ξ=1）=0.7；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.7×（1-0.7）=0.21；
当ξ=3时，P（ξ=3）=0.7×（1-0.7）2=0.063；
当ξ=4时，P（ξ=4）=0.7×（1-0.7）3+（1-0.7）4=0.027；
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417．
解析
解：（1）P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）
=0.7+0.21
=0.91．
（2）ξ的可能取值为1，2，3，4，
当ξ=1时，P（ξ=1）=0.7；
当ξ=2时，P（ξ=2）=0.7×（1-0.7）=0.21；
当ξ=3时，P（ξ=3）=0.7×（1-0.7）2=0.063；
当ξ=4时，P（ξ=4）=0.7×（1-0.7）3+（1-0.7）4=0.027；
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417．
设ξ的分布列如下：
则P等于（ ）
A0
B
C
D不确定
正确答案
解析
解：根据所给的分布列，由分布列的性质得到
∴p=
故选B．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3． …（3分）
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342．…（7分）
（3）ξ的可能取值为1，2，3；
∴ξ的分布列为：
…（11分）
∴
解析
解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3． …（3分）
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342．…（7分）
（3）ξ的可能取值为1，2，3；
∴ξ的分布列为：
…（11分）
∴
随机变量ξ的概率分布规律为P（ξ=k）=a（11-2k）（k=1、2、3、4、5），其中a是常数，则P（
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，由所有概率的和为1可得a（9+7+5+3+1）=1
∴
∴P（
故选D．
某校高二（4）班组织学生报名参加国学社和摄影社，已知报名的每位学生至少报了一个社团，其中报名参加国学社的学生有2人，参加摄影社团的学生有5人，现从中选2人．设ξ为选出的学生中既报名参加国学社又报名参加摄影社的人数，且
（Ⅰ）求高二（4）班报名参加社团的学生人数；
（Ⅱ）写出ξ的分布列并计算Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设既报名参加国学社又报名参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为（7-x）人．
∵P（ξ＞0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=
∴P（ξ=0）=
故高二（4）班报名参加社团的学生有5人；
（Ⅱ）∵P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×
解析
解：（Ⅰ）设既报名参加国学社又报名参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为（7-x）人．
∵P（ξ＞0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=
∴P（ξ=0）=
故高二（4）班报名参加社团的学生有5人；
（Ⅱ）∵P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×
已知X分布列如图，设Y=2X+1，则Y的数学期望E（Y）的值是（ ）
A-
B
C1
D
正确答案
解析
解：由已知得
∴a=
∴E（X）=-
∵E（Y）=2E（X）+1，
∴E（Y）=
故选B
某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
（1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
正确答案
解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
即X的概率分布列为
（8分）
（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X=1）+P（X=2）=+=．（12分）
解析
解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=
即X的概率分布列为
（8分）
（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X=1）+P（X=2）=+=．（12分）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为
（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ．
正确答案
解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
从而（局）．
解析
解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
从而（局）．
某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10，
从6张卡片依次不放回的抽取2张有
依次所求的概率为：
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．
①两次取得都是奇数，则P（X=0）=
②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=
③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=
④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=
⑥由（I）可得P（X=10）=
于是可得X的分布列如下：
所以．
解析
解：（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10，
从6张卡片依次不放回的抽取2张有
依次所求的概率为：
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．
①两次取得都是奇数，则P（X=0）=
②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=
③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=
④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=
⑥由（I）可得P（X=10）=
于是可得X的分布列如下：
所以．
某射手射击所得环数ξ的分布列如下，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为______．
正确答案
0.4
解析
解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，
7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9
解得y=0.4．
故答案为：0.4．
已知盘中有编号为A，B，C，D的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别）
（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；
（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X．求X的分布列和期望E（X）．
正确答案
解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，
则P（E）=
（Ⅱ） 由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，且
故X的分布列为：
（12分）
故数学期望为．（14分）
解析
解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，
则P（E）=
（Ⅱ） 由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，且
故X的分布列为：
（12分）
故数学期望为．（14分）
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