- 计数原理
- 共11505题
己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为______时，D（ξ）取到最小值．
正确答案
1或9
解析
解：由题意可得：ξ表示红球的个数，则ξ可能取的值为：0，1，2，
根据题意可得：P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=1×+2×=1，
所以Dξ=+=，并且1≤m≤9，
所以当m=1或9时，Dξ取最小值为：．
故答案为：1或9．
为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点，
（1）求这三人恰有两人消费额大于或等于300元的概率；
（2）求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；
（3）设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列．
正确答案
解：（1）这三人恰有两人消费额大于或等于300元，包括三种情况这三种情况是互斥的，三个人消费大于300的概率分别是0.6，0.7，0.7
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到
P1=（0.7）2×0.4+2×0.6×0.7×0.3=0.448；
（2）这三人消费总额大于或等于1300元，包括三种情况，这三种情况是互斥的，
消费总额为1500元的概率是：0.1×0.1×0.2=0.002
消费总额为1400元的概率是：（0.1）2×0.2+2×（0.2）2×0.1=0.010，
消费总额为1300元的概率是：（0.1）2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+0.23+2×0.22×0.1=0.033．
∴消费总额大于或等于1300元的概率是P2=0.045；
（3）这三人中消费额大于300元的人数为X，则X的可能取值是0，1，2，3
P（X=0）=0.7×0.7×0.6=0.294，
P（X=1）=0.3×0.7×0.6×2+0.7×0.7×0.4=0.448，
P（X=2）=0.3×0.3×0.6+0.3×0.7×0.4×2=0.222，
P（X=3）=0.3×0.3×0.4=0.036．
∴X的分布列为：
解析
解：（1）这三人恰有两人消费额大于或等于300元，包括三种情况这三种情况是互斥的，三个人消费大于300的概率分别是0.6，0.7，0.7
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到
P1=（0.7）2×0.4+2×0.6×0.7×0.3=0.448；
（2）这三人消费总额大于或等于1300元，包括三种情况，这三种情况是互斥的，
消费总额为1500元的概率是：0.1×0.1×0.2=0.002
消费总额为1400元的概率是：（0.1）2×0.2+2×（0.2）2×0.1=0.010，
消费总额为1300元的概率是：（0.1）2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+0.23+2×0.22×0.1=0.033．
∴消费总额大于或等于1300元的概率是P2=0.045；
（3）这三人中消费额大于300元的人数为X，则X的可能取值是0，1，2，3
P（X=0）=0.7×0.7×0.6=0.294，
P（X=1）=0.3×0.7×0.6×2+0.7×0.7×0.4=0.448，
P（X=2）=0.3×0.3×0.6+0.3×0.7×0.4×2=0.222，
P（X=3）=0.3×0.3×0.4=0.036．
∴X的分布列为：
（理科做）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x2-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．
正确答案
解析
解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3．由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6．
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A1•A2•A3）+P（
=P（A1）P（A2）P（A3）+P（
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
所以ξ的分布列为
Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（Ⅱ）因为
所以函数
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅当
从而
设每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率？
正确答案
解：由题意，P{X=0}=P{X=1}，
∴e-λ=λe-λ，
∴λ=1，
∴P（X≥2}=1-=1-P{X=0}-P{X=1}=1-2e-1=0.2642．
解析
解：由题意，P{X=0}=P{X=1}，
∴e-λ=λe-λ，
∴λ=1，
∴P（X≥2}=1-=1-P{X=0}-P{X=1}=1-2e-1=0.2642．
甲、乙两位同学各有5张卡片，现以投掷一枚骰子的形式进行游戏，当掷出奇数点时．甲贏得乙卡片一张，当掷出偶数点时，乙赢得甲卡片一张．规定投掷的次数达到9次，或在此之前某入贏得对方所有卡片时，游戏终止．
（I）设x表示游戏终止时投掷的次数，求x的分布列及期望：
（II）求在投掷9次游戏才结束的条件下，甲、乙没有分出胜负的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）X可能取值为5，7，9．
P（X=5）=
P（X=9）=
∴X的分布列见右图
∴EX=
（Ⅱ）令投9次没分出胜负的事件为A，投掷9此游戏才结束为事件B，投9次能分出胜负的事件为C，
则P（B）=
P（C）=
P（A）=1-P（C）-
∴
解析
解：（Ⅰ）X可能取值为5，7，9．
P（X=5）=
P（X=9）=
∴X的分布列见右图
∴EX=
（Ⅱ）令投9次没分出胜负的事件为A，投掷9此游戏才结束为事件B，投9次能分出胜负的事件为C，
则P（B）=
P（C）=
P（A）=1-P（C）-
∴
某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有10个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主持人笑说：我只知道从盒中同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是
（Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ，Dξ．
正确答案
解：（I）设印有“美丽泉城行”标志的球有n个，不都是“美丽泉城行”标志为事件A，
则都是“美丽泉城行”标志的概率是
由对立事件的概率：
故“多彩十艺节”标志卡共有4张，
∴抽奖者获奖的概率为
Ⅱ）ξ～
∴．
解析
解：（I）设印有“美丽泉城行”标志的球有n个，不都是“美丽泉城行”标志为事件A，
则都是“美丽泉城行”标志的概率是
由对立事件的概率：
故“多彩十艺节”标志卡共有4张，
∴抽奖者获奖的概率为
Ⅱ）ξ～
∴．
现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列．
正确答案
解：由题意知，某位教师去参加甲游戏的概率为P=
且X的可能取值分别为0，1，2，3；
所以，P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列如下；
解析
解：由题意知，某位教师去参加甲游戏的概率为P=
且X的可能取值分别为0，1，2，3；
所以，P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列如下；
已知离散型随机变量X的分布列为
则常数q=______．
正确答案
1-
解析
解：由分布列的性质可得 0.5+1-2q+q2=1，解得q=1+
故答案为 
某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a．
（1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
（2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．
正确答案
解：（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1．（1分）
∴100a2+7a=0.3，
∴1 000a2+70a-3=0，a=
∴100a2+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列为
（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964； （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=8 676．（12分）
解析
解：（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1．（1分）
∴100a2+7a=0.3，
∴1 000a2+70a-3=0，a=
∴100a2+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列为
（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964； （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=8 676．（12分）
甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才有参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格．因为甲、乙、丙三人各在优势，甲、乙、丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的期望．
正确答案
解：（1）分别记甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A、B、C
则P（A）=0.5×0.6=0.3
P（B）=0.6×0.5=0.3
P（C）=0.4×0.75=0.3
（2）甲、乙、丙三人中获得自主招生人选资格的人数为ξ的取值为0，1，2，3．
所以P（ξ=0）=（1-0.3）3=0.343
P（ξ=1）=C31•0.3×（1-0.3）2=0.441
P（ξ=2）=C32（0.3）2×（1-0.3）1=0.189
P（ξ=3）=C33（0.3）3×（1-0.3）0=0.027
故随机变量ξ的期望Eξ=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9
解析
解：（1）分别记甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A、B、C
则P（A）=0.5×0.6=0.3
P（B）=0.6×0.5=0.3
P（C）=0.4×0.75=0.3
（2）甲、乙、丙三人中获得自主招生人选资格的人数为ξ的取值为0，1，2，3．
所以P（ξ=0）=（1-0.3）3=0.343
P（ξ=1）=C31•0.3×（1-0.3）2=0.441
P（ξ=2）=C32（0.3）2×（1-0.3）1=0.189
P（ξ=3）=C33（0.3）3×（1-0.3）0=0.027
故随机变量ξ的期望Eξ=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9
10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29μm，30μm，31μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19μm，20μm，21μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η，周长为μ．
（1）分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律；
（2）求周长μ的分布律，并列表表示；
（3）求周长μ的期望值．
正确答案
解：
（1）作出如图的分布律表格即可
（2）P（μ=96）=0.3×0.3=0.09；P（μ=98）=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27；P（μ=100）=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35；
P（μ=102）=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23；P（μ=104）=0.2×0.3=0.06．
周长分布列如下表所示
（3）解法一：（利用周长的分布计算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8．
解法二：（利用矩形长与宽的期望计算）由长和宽的分布列可以算得
Eζ=29×P（ζ=29）+30×P（ζ=30）+31×P（ζ=31）=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9，
Eη=19×P（η=19）+20×P（η=20）+21×P（η=21）=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20．
由期望的性质可得Eμ=2（Eζ+Eη）=2×（29.9+20）=99.8．
解析
解：
（1）作出如图的分布律表格即可
（2）P（μ=96）=0.3×0.3=0.09；P（μ=98）=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27；P（μ=100）=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35；
P（μ=102）=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23；P（μ=104）=0.2×0.3=0.06．
周长分布列如下表所示
（3）解法一：（利用周长的分布计算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8．
解法二：（利用矩形长与宽的期望计算）由长和宽的分布列可以算得
Eζ=29×P（ζ=29）+30×P（ζ=30）+31×P（ζ=31）=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9，
Eη=19×P（η=19）+20×P（η=20）+21×P（η=21）=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20．
由期望的性质可得Eμ=2（Eζ+Eη）=2×（29.9+20）=99.8．
（2015春•凤城市校级月考）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．
正确答案
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．
（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1=
（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=
即X的概率分布列如下表：
∴E（X）=3×0.9=2.7．
解析
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知，事件A，B相互独立，且P（A）=0.6，P（（B）=0.75．
（1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1=
（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=
即X的概率分布列如下表：
∴E（X）=3×0.9=2.7．
已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（ ）
正确答案
解析
解：由表格可知：0.4+a+b+0.1=1，
又EX=6，可得：2+6a+7b+0.8=6，
解得b=0.2，a=0.3，
故选：A．
盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等．先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y．设
（1）求随机变量M的分布列和数学期望；
（2）设“函数
正确答案
解：（1）依题意，M的可能取值为2，3，4．
先从盒子中任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，基本事件总数为×5=25，
当M=2时，摸出的卡片上分别写着数学1，1．P（M=2）=
当M=4时，摸出的卡片上分别写着数学2，2．P（M=4）=
当M=3时，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=
所以M的分布列：
∴EM=2×
（2）∴M的可能取值为2，3，4．
当M=2时，
当M=3时，
当M=4时，
∴事件A相当于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=
解析
解：（1）依题意，M的可能取值为2，3，4．
先从盒子中任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，基本事件总数为×5=25，
当M=2时，摸出的卡片上分别写着数学1，1．P（M=2）=
当M=4时，摸出的卡片上分别写着数学2，2．P（M=4）=
当M=3时，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=
所以M的分布列：
∴EM=2×
（2）∴M的可能取值为2，3，4．
当M=2时，
当M=3时，
当M=4时，
∴事件A相当于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=
设随机变量ξ的概率分布列为：P（ξ=k）=
正确答案
解析
解：因为所有事件发生的概率之和为1，
即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，
所以
所以P（ξ=k）=
故答案为：
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