- 计数原理
- 共11505题
《保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点前一位数字为叶）如图所示：
（l）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（2）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C153种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C51C102种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴P（A）=
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
PP（ξ=0）=
P（ξ=2）=
其分布列如下：
…（12分）
解析
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C153种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C51C102种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴P（A）=
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
PP（ξ=0）=
P（ξ=2）=
其分布列如下：
…（12分）
已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差Dξ的最大值为（ ）
正确答案
解析
解：由题意知y=0.6-x，
∵Eξ=0.4+2x，
∴Eξ2=0.4+4x，Dξ=Eξ2-（Eξ）2
=0.4+4x-（0.4+2x）2
=-4x2+2.4x+0.24，
当x=0.3时，（Dξ）max=0.6
故选B．
成都某中学2011年进行评定高级职称工作时，数学组、语文组各有2人够资格，能评上高级职称的可能性分别为
（1）求这两个组各有1人评上的概率；
（2）求这两个组至少有1人评上的概率；
（3）求数学组评上的人数ξ的期望和方差．
正确答案
解：设Ak表示数学组评上k人（k=0，1，2），设Bi表示语文组评上i人（i=0，1，2）．
（1）
（2）
（3）由题意ξ～
∴期望
答：（1）这两个组各有1人评上的概率是
（2）这两个组至少有1人评上的概率是
（3）数学组评上的人数ξ的期望
解析
解：设Ak表示数学组评上k人（k=0，1，2），设Bi表示语文组评上i人（i=0，1，2）．
（1）
（2）
（3）由题意ξ～
∴期望
答：（1）这两个组各有1人评上的概率是
（2）这两个组至少有1人评上的概率是
（3）数学组评上的人数ξ的期望
四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．
将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．
（Ⅰ）求ξ的取值及相应的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．
正确答案
解：（I）ξ可能取值为0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C20（1-
p（ξ=2）=C22（
p（ξ=3）=C22（
p（ξ=4）=C22（
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）=
∴
解得a∈[
解析
解：（I）ξ可能取值为0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C20（1-
p（ξ=2）=C22（
p（ξ=3）=C22（
p（ξ=4）=C22（
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）=
∴
解得a∈[
某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：
（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；
（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10个人中任选3个，共有C103种结果，
满足条件的事件是这3人参加活动次数各不相同，共有C21C31C51
∴3人参加活动次数各不相同的概率为
故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为
（2）由题意知ξ=0，1，2，
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望：．
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10个人中任选3个，共有C103种结果，
满足条件的事件是这3人参加活动次数各不相同，共有C21C31C51
∴3人参加活动次数各不相同的概率为
故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为
（2）由题意知ξ=0，1，2，
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望：．
二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
（1）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（2）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C153种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C51C102种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
其分布列如下：
所以ξ～
所以Eξ=1
解析
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C153种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C51C102种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
其分布列如下：
所以ξ～
所以Eξ=1
在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．
（1）当甲同学选择方案1时．
①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：
②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．
正确答案
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件
在B处投中为事件B，不中为事件
①求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件
则P（
②甲同学测试结束后所得总分ξ的可能值为0，2，3，4．
则P（ξ=0）=P（
P（ξ=2）=P（
=P（
=0.5×0.8×0.2+0.5×0.2×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P（ξ=4）=P（
分布列为：
∴数学期望Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1；
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P1，选择2方案通过测试的概率为P2，
则P1=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P2=P（
∵P2＞P1，∴甲同学选择2方案通过测试的可能性更大．
解析
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件
在B处投中为事件B，不中为事件
①求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件
则P（
②甲同学测试结束后所得总分ξ的可能值为0，2，3，4．
则P（ξ=0）=P（
P（ξ=2）=P（
=P（
=0.5×0.8×0.2+0.5×0.2×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P（ξ=4）=P（
分布列为：
∴数学期望Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1；
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P1，选择2方案通过测试的概率为P2，
则P1=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P2=P（
∵P2＞P1，∴甲同学选择2方案通过测试的可能性更大．
某厂工人在2008年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2008年一年里所得奖金的分布列．
正确答案
解：设该工人在2008年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，并且X可能取的值为0，300，750，1260，1800．
由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于
所以
所以X的分布列为
解析
解：设该工人在2008年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，并且X可能取的值为0，300，750，1260，1800．
由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于
所以
所以X的分布列为
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列．
正确答案
（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，P（X=0）=
P（X=2）=
故随机变量X的分布列为
解析
（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，P（X=0）=
P（X=2）=
故随机变量X的分布列为
扣人心弦巴西世界足球杯已落下了帷幕，为了解市民对该届世界杯的关注情况，某市足球协会针对该市市民组织了一次随机调查，所抽取的样本容量为120，调查结果如下：
（1）若从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，求这3人中至少有1人为“看直播“的概率
（2）现从（1）所抽取的6人的问卷中每次抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有为看直播的问卷为止，记要抽取的次数为X，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，
则抽中的6人中，看直播的人数为：
看转播的人数为：
不看的人数为：
再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，
这3人中至少有1人为“看直播”的概率：
P=1-
（2）∵6人中，看直播的人数为3人，
∴由题意，X=3，4，5，
当X=3，表示前3次抽取的都是看直播的3人或者是不看直播的3人，
则P（X=3）=
当X=4，表示前3次中有2次是看直播的，第4次是第3个看直播的，
或者是前3次中有2次是不看直播的，第4次是第3个不看直播的，
P（X=4）=
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-
∴X的分布列
X=3×+4×+5×=．
解析
解：（1）从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，
则抽中的6人中，看直播的人数为：
看转播的人数为：
不看的人数为：
再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，
这3人中至少有1人为“看直播”的概率：
P=1-
（2）∵6人中，看直播的人数为3人，
∴由题意，X=3，4，5，
当X=3，表示前3次抽取的都是看直播的3人或者是不看直播的3人，
则P（X=3）=
当X=4，表示前3次中有2次是看直播的，第4次是第3个看直播的，
或者是前3次中有2次是不看直播的，第4次是第3个不看直播的，
P（X=4）=
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-
∴X的分布列
X=3×+4×+5×=．
某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可划分为两类：第一类人易出事故，其在第一年内出事故的概率为0.4，第二类人为谨慎的人，其在第一年内出事故的概率为0.2．假定在新投保的3人中有一人是第一类人，2人是第二类人，一年内这3人出事故的人数记为ξ，（这3人出事故相互之间没有影响）
（1）求3人都不出事故的概率．
（2）求ξ的分布列及其数学期望和方差．
正确答案
解：（1）P=0.6×0.8×0.8=0.384…2分
（2）
…2分…2分
解析
解：（1）P=0.6×0.8×0.8=0.384…2分
（2）
…2分…2分
某公司有10万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是______元．
正确答案
9520
解析
解：∵由题意知本题投资成功的概率是
投资成功的收益是100000×12%，
投资失败的损失是100000×0.5
该公司一年后估计可获收益的期望是100000×12%×
故答案为：9520．
设某离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，则p的值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据离散型随机变量ξ的概率和为1，可得p=1-
故选：B．
一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：
（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．
正确答案
（Ⅰ）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，
则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为
故
（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：
P（X=60）=
故X的分布为：
X的均值为 ．
解析
（Ⅰ）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，
则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为
故
（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：
P（X=60）=
故X的分布为：
X的均值为 ．
2012年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为
（1）求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中的概率；
（2）记甲、乙、丙三个方案被选中的个数为ξ，试求ξ的期望．
正确答案
解：记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1=
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2=
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3=
以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=
（2）由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
由（1）知P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故Eξ=0×
解析
解：记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1=
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2=
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3=
以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=
（2）由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
由（1）知P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故Eξ=0×
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