- 计数原理
- 共11505题
符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：
①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；
②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；
③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．
某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．
已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．
（I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；
（II）求这名同学被该大学录取的概率．
正确答案
解：（I）由题意知这名同学参加考试次数ξ为2、4，
根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率得到
P（ξ=2）=（1-0.9）+0.9×0.5=0.55
P（ξ=4）=0.9×（1-0.5）=0.45
∴变量的分布列是
∴Eξ=2×0.55+4×0.45=2.9
（II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是P1、P2，
则P1=0.1×0.3+0.9×0.5=0.48
P2=0.9×（1-0.5）×0.8×0.6+0.9×（1-0.5）×（1-0.8）×0.3=0.243
∴该同学被该校录取的概率P1+P2=0.723．
解析
解：（I）由题意知这名同学参加考试次数ξ为2、4，
根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率得到
P（ξ=2）=（1-0.9）+0.9×0.5=0.55
P（ξ=4）=0.9×（1-0.5）=0.45
∴变量的分布列是
∴Eξ=2×0.55+4×0.45=2.9
（II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是P1、P2，
则P1=0.1×0.3+0.9×0.5=0.48
P2=0.9×（1-0.5）×0.8×0.6+0.9×（1-0.5）×（1-0.8）×0.3=0.243
∴该同学被该校录取的概率P1+P2=0.723．
（1）求转动两次后，得分的和为4的概率；
（2）设转动两次得分的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：设指针停在A，B，C，D区域的事件为A，B，C，D
∵将圆盘分成A，B，C，D四份，它们所对的圆心角依次为45°，60°，120°，135°，
∴P（A）=
∵指针停在A，B，C，D区域可分别得到4，3，2，1分，
∴3+1=4，2+2=4
（1）转动两次后，得分的和为4的概率：2×
（2）ξ=2，3，4，5，6，7，8
P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=2×
P（ξ=6）=
P（ξ=7）=2×
P（ξ=8）=
数学期望：Eξ=2×=≈4.1．
解析
解：设指针停在A，B，C，D区域的事件为A，B，C，D
∵将圆盘分成A，B，C，D四份，它们所对的圆心角依次为45°，60°，120°，135°，
∴P（A）=
∵指针停在A，B，C，D区域可分别得到4，3，2，1分，
∴3+1=4，2+2=4
（1）转动两次后，得分的和为4的概率：2×
（2）ξ=2，3，4，5，6，7，8
P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=2×
P（ξ=6）=
P（ξ=7）=2×
P（ξ=8）=
数学期望：Eξ=2×=≈4.1．
袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；
（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球．若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品．求顾客甲获得奖品价值X的分布列与期望．
正确答案
解：（1）即事件为A：“4次取球中至少有3次取得白球”，则“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为
∴P（A）=C
（2）X的取值为100，80，50，0，
P（X=100）=
P（X=80）=
P（X=50）=
P（X=0）=
∴X的分布列为：
E（X）=×100=．
解析
解：（1）即事件为A：“4次取球中至少有3次取得白球”，则“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为
∴P（A）=C
（2）X的取值为100，80，50，0，
P（X=100）=
P（X=80）=
P（X=50）=
P（X=0）=
∴X的分布列为：
E（X）=×100=．
某射手射击击中目标的概率为0.8，从开始射击到击中目标所需的射击次数为ξ，则Eξ等于（ ）
A
B
C
D5
正确答案
解析
假设射击n次，第i次命中的概率为Pi（i=0，1，…，n）
则
故所求的期望为：Eξ=P1+2P2+3P3+…+nPn
=
=
取极限得，Eξ等于
故选A
（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？
（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．
参考公式：K2=
临界值附表：
正确答案
解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为
因为K2=
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为
因为K2=
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则
P（X=0）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×=．
甲、乙等五名工人被随机地分到A，B，C三个不同的岗位工作，每个岗位至少有一名工人．
（1）求甲、乙被同时安排在A岗位的概率；
（2）设随机变量ξ为这五名工人中参加A岗位的人数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）五名工人被随机地分到A，B，C三个不同的岗位工作，每个岗位至少有一名工人，
可以有一个岗位3人，其余各1人，有
要满足甲、乙被同时安排在A岗位，则相当于把其余3人分到A，B，C岗位，有
故所求的概率为：
（2）ξ可以取1，2，3 同（1）的求法可得
∴ξ的分布列为：
故（14分）
解析
解：（1）五名工人被随机地分到A，B，C三个不同的岗位工作，每个岗位至少有一名工人，
可以有一个岗位3人，其余各1人，有
要满足甲、乙被同时安排在A岗位，则相当于把其余3人分到A，B，C岗位，有
故所求的概率为：
（2）ξ可以取1，2，3 同（1）的求法可得
∴ξ的分布列为：
故（14分）
（2015春•南通校级期末）现有质地均匀、大小相同、颜色分别为红、黄、蓝的小球各3个，从中随机抽取n个球（1≤n≤9），
（1）当n=3时，记事件A={抽取的三个小球中恰有两个小球颜色相同}．求P（A）；
（2）当n=2时，若用ξ表示抽到的红球的个数．
①求ξ的概率分布；
②令η=-λ2ξ+λ+1，E（η）＞1．求实数λ的取值范围．
正确答案
解：（1）当n=3时，即从9个小球中抽取3个，故总的基本事件数为C93，
事件A，可从三类中任取一类共C31种，再从该类的3个中任取2个共C32种，
然后再从其余两类的6个中任取1个共C61种，故总共C31C32C61种，
所以
（2）①ξ可取0，1，2，则
分布列为
…8分
②…10分E（η）=-λ2E（ξ）+λ+1，E（η）＞1
所以
所以…14分．
解析
解：（1）当n=3时，即从9个小球中抽取3个，故总的基本事件数为C93，
事件A，可从三类中任取一类共C31种，再从该类的3个中任取2个共C32种，
然后再从其余两类的6个中任取1个共C61种，故总共C31C32C61种，
所以
（2）①ξ可取0，1，2，则
分布列为
…8分
②…10分E（η）=-λ2E（ξ）+λ+1，E（η）＞1
所以
所以…14分．
一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X=4）的值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X=4，
即旧球的个数增加了一个，
∴取出的3个球中必有一个新球，
即取出的3个球必为2个旧球1个新球，
∴P（X=4）=
故选C．
某校设计了一个实验学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过考查．已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
（Ⅰ）求考生甲通过实验考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两考生正确完成题数x1，x2的概率分布列；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．
正确答案
解：（Ⅰ）∵甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，
∴所求概率p=
（Ⅱ）∵x1=1，2，3，
P（x1=2）=
P（x1=3）=
∴甲考生正确完成题数x1的概率分布列为
∵x2=0，1，2，3，且，
P（x2=1）==，
，
，
∴乙考生正确完成题数x2的概率分布列为：
（Ⅲ）∵，
Ex2==2，
∴Ex1=Ex2，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵×=，
+，
∴Dx1＜Dx2，这表明x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
解析
解：（Ⅰ）∵甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，
∴所求概率p=
（Ⅱ）∵x1=1，2，3，
P（x1=2）=
P（x1=3）=
∴甲考生正确完成题数x1的概率分布列为
∵x2=0，1，2，3，且，
P（x2=1）==，
，
，
∴乙考生正确完成题数x2的概率分布列为：
（Ⅲ）∵，
Ex2==2，
∴Ex1=Ex2，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵×=，
+，
∴Dx1＜Dx2，这表明x1的取值比x2的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
某省级示范高中2015年有向甲、乙、丙三所大学推荐保送生的名额，根据这三所大学保送生推荐的条件，该校共有四名学生符合推荐条件学校按照保送生推选的程序，首先由这四名学生各自自主申请，每位申请人只能申请一所大学的保送名额，已知这四名学生申请其中任一所大学都是等可能的，而且他们在申请时互不影响．
（1）求恰有两位学生都申请甲这所大学的概率；
（2）记这四位学生所申请的大学的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（3）对于（2）中的ξ，设“函数f（x）=3sin
正确答案
解：（1）四位学生申请大学共有3×3×3×3=81种，
恰有两位学生都申请甲这所大学有
故恰有两位学生都申请甲这所大学的概率为
（2）由题意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列为
数学期望Eξ=1×+2×+3×=；
（3）在1，2，3中，函数f（x）=3sinπ，x∈R是偶函数时，ξ=1或3；
故事件D发生的概率为．
解析
解：（1）四位学生申请大学共有3×3×3×3=81种，
恰有两位学生都申请甲这所大学有
故恰有两位学生都申请甲这所大学的概率为
（2）由题意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列为
数学期望Eξ=1×+2×+3×=；
（3）在1，2，3中，函数f（x）=3sinπ，x∈R是偶函数时，ξ=1或3；
故事件D发生的概率为．
设随机变量的分布列如下表所示，且a+2b=1.3，则a-b=（ ）
正确答案
解析
解：由题设知：
解得a=0.3，b=0.5，
∴a-b=0.3-0.5=-0.2．
故选：D．
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为
元件B为正品的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．
∵P（X=90）=
P（X=-15）=
∴随机变量X的分布列为：
EX=
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得 
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=
解析
解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为
元件B为正品的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．
∵P（X=90）=
P（X=-15）=
∴随机变量X的分布列为：
EX=
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=
袋中有大小相同的4个红球与2个白球．
（1）若从袋中依次不放回取出一个球，求第三次取出白球的概率；
（2）若从袋中依次不放回取出一个球，求第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率．
（3）若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，求P（ξ≤4）与E（9ξ-1）．
正确答案
解：（1）从袋中依次不放回取出一个球取三次共有
∴从袋中依次不放回取出一个球，第三次取出白球的概率为P=
（2）第一次取出红球后，还剩下3红2白，共5个球，故第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率为
（3）记取一次球取出红球为事件A，则
∴
∵Eξ=6×
∴E（9ξ-1）=9Eξ-1=9×4-1=35
解析
解：（1）从袋中依次不放回取出一个球取三次共有
∴从袋中依次不放回取出一个球，第三次取出白球的概率为P=
（2）第一次取出红球后，还剩下3红2白，共5个球，故第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率为
（3）记取一次球取出红球为事件A，则
∴
∵Eξ=6×
∴E（9ξ-1）=9Eξ-1=9×4-1=35
甘肃省某重点中学在2011年录用教师时，每一个应聘人员都需要进行初审、笔试、面试、试讲4轮考查，每轮合格者进入下一轮考查，否则被淘汰．已知某应聘人员能通过初审、笔试、面试、试讲4轮考查的概率分别为
（1）求该应聘人员至多进入面试的概率；
（2）该应聘人员在选拔过程中被考查的环节个数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：设事件AI（i=1，2，3，4）表示“该应聘人员能通过第i轮考查”，由已知，得P（A1）=
（1）设事件C表示“该应聘人员至多进入面试”，则P（C）=P（
（2）依题意知随机变量X的可能取值分别为1，2，3，4且P（X=1）=P（
P（X=3）=P（
P（X=4）=P（A1A2A3）=
所以随机变量X的分布列为
随机变量的期望值EX==3
解析
解：设事件AI（i=1，2，3，4）表示“该应聘人员能通过第i轮考查”，由已知，得P（A1）=
（1）设事件C表示“该应聘人员至多进入面试”，则P（C）=P（
（2）依题意知随机变量X的可能取值分别为1，2，3，4且P（X=1）=P（
P（X=3）=P（
P（X=4）=P（A1A2A3）=
所以随机变量X的分布列为
随机变量的期望值EX==3
（理）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，则Eξ的值______．
正确答案
解析
解：随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=i（i=1，2）”是指有i个同学到A社区，
则 
所以 
∴．
故答案为：．
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