- 计数原理
- 共11505题
2013年国庆期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110)后得到如下图的频率分布直方图.
(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(2)求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值;
(3)若从车速在[80,90)的车辆中任抽取3辆,求抽出的3辆车中车速在[85,90)的车辆数ξ的分布列及数学期望.
正确答案
解:(1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.
故调查公司在采样中,用到的是系统抽样; …(2分)
(2)设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-95)=0.5
,解得x=97.5
即中位数的估计值为97.5…(4分)
(3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为0.01×5×40=2(辆),
车速在[85,90)的车辆数为0.02×5×40=4(辆)
∴ξ可取:1,2,3 …(6分)
,
,
,…(8分)
ξ的分布列为
…(10分)
均值.…(12分)
解析
解:(1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.
故调查公司在采样中,用到的是系统抽样; …(2分)
(2)设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-95)=0.5
,解得x=97.5
即中位数的估计值为97.5…(4分)
(3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为0.01×5×40=2(辆),
车速在[85,90)的车辆数为0.02×5×40=4(辆)
∴ξ可取:1,2,3 …(6分)
,
,
,…(8分)
ξ的分布列为
…(10分)
均值.…(12分)
2010年上海世博会大力倡导绿色出行,并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量.某游客非常支持这一方案,计划在游园期间种植某种树,已知这种树的成活率为p(0<p<1),设ξ表示他所种植的树成活与否,即,ξ的方差为V(ξ).则V(ξ)达到最大值时p的值为 ______.
正确答案
解析
解:∵由题意知变量ξ服从两点分布,
∴根据两点分布的方差公式得到V(ξ)=p(1-p)≤=
,
当且仅当p=1-p时“=”成立,
∴2p=1
p=
故答案为:
设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a()i,i=1,2,3,则实数a的值为( )
正确答案
解析
解:∵设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a•()i,i=1,2,3,
∴=1,
解得a=.
故选:D.
合肥一中每年五月举行校园微型博览会,在会馆入口处准备了A,B,C三种形式的校长签名纪念卡片供参观同学抽取.
(Ⅰ)若有大量纪念卡,其中20%的A卡,现抽取了5张,求其中A卡的张数X的分布列及其数学期望E(X);(注:在总体数量特别大时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样)
(Ⅱ)活动结束,剩余若干纪念卡,从中任意抽取1张纪念卡,得到A卡的概率是,任意抽取2张卡,没有B卡的概率是
,求证:任意抽取2张卡,至少得到1张A卡的概率不大于
,并指出余下的卡中哪种卡最少.
正确答案
(Ⅰ)解:抽取的5张中A卡的张数X~B(5,0.2),分布列为
E(X)=5×0.2=1;
(Ⅱ)证明:假设其余n张卡,A卡有m张,则2m<n,即2m≤n-1.
任取2张卡,至少得到1张A卡的概率P=,
∵,
∴P<;
由于任意抽取2张卡,至少得到1张B卡的概率是1-=>,
∴B卡多于A卡,超过,
∴C卡所占比例少于1--=,
∴C卡最少.
解析
(Ⅰ)解:抽取的5张中A卡的张数X~B(5,0.2),分布列为
E(X)=5×0.2=1;
(Ⅱ)证明:假设其余n张卡,A卡有m张,则2m<n,即2m≤n-1.
任取2张卡,至少得到1张A卡的概率P=,
∵,
∴P<;
由于任意抽取2张卡,至少得到1张B卡的概率是1-=>,
∴B卡多于A卡,超过,
∴C卡所占比例少于1--=,
∴C卡最少.
某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;
(Ⅱ)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.
正确答案
解:(Ⅰ)抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为(0.06+0.02)×5×200=80人
参加社区服务时间不少于90小时的概率=0.4;
(Ⅱ)ξ=0,1,2,3,则
P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)==0.432,P(ξ=2)=
=0.288,P(ξ=3)=0.43=0.064
∴ξ的分布列为
数学期望Eξ=1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.
解析
解:(Ⅰ)抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为(0.06+0.02)×5×200=80人
参加社区服务时间不少于90小时的概率=0.4;
(Ⅱ)ξ=0,1,2,3,则
P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)==0.432,P(ξ=2)=
=0.288,P(ξ=3)=0.43=0.064
∴ξ的分布列为
数学期望Eξ=1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.
设ξ是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求Eξ、Dξ.
正确答案
解:∵随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,
∴解得q=1-
.
∴ξ的分布列为
∴Eξ=(-1)×+0×(
-1)+1×(
-
)=1-
,
Dξ=[-1-(1-)]2×
+(1-
)2×(
-1)+[1-(1-
)]2×(
-
)=
-1.
解析
解:∵随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,
∴解得q=1-
.
∴ξ的分布列为
∴Eξ=(-1)×+0×(
-1)+1×(
-
)=1-
,
Dξ=[-1-(1-)]2×
+(1-
)2×(
-1)+[1-(1-
)]2×(
-
)=
-1.
一个盒中有9个正品和3个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望Eξ=______.
正确答案
0.3
解析
解:由题意可得ξ可能为0,1,2,3,
可得P(ξ=0)==
,P(ξ=1)=
=
,
P(ξ=2)==
,
P(ξ=3)==
,
故Eξ==0.3
故答案为:0.3
一个袋中放了相同的标号为1、2、3的三个小球.每次从袋中摸一个小球,记下标号然后放回,共摸球3次.若拿出球的标号是奇数,则得1分,否则得0分,则3次所得分数之和的数学期望是______.
正确答案
2
解析
解:设随机变量ξ表示摸球3次所得分数之和.
则ξ~B,
∴Eξ==2.
故答案为2.
为了收集2009年7月“长江日全食”天象的有关数据,国家天文台在成都、武汉各设置了A、B两个最佳观测站,共派出11名研究员分别前往两地实地观测.原计划向成都派出3名研究员去A观测站,2名研究员去B观测站;向武汉派出3名研究员去A观测站,3名研究员去B观测站,并都已指定到人.由于某种原因,出发前夕要从原计划派往成都的5名研究员中随机抽调1人改去武汉,同时,从原计划派往武汉的6名研究员中随机抽调1人改去成都,且被抽调的研究员仍按原计划去A观测站或B观测站工作.求:
(I)派往两地的A、B两个观测站的研究员人数不变的概率;
(II)在成都A观测站的研究员人数X的分布列和数学期望.
正确答案
解:(I)由题意知设互换的是A观测站的研究员为事件A,
互换的是B观测站的研究员为事件B,则A、B互斥.
∵=
∴
即派往两地的A、B两个观测站的研究员人数不变的概率为
(II)根据题意,X的可能取值为2,3,4.
,
∴X的分布列为:
∴
解析
解:(I)由题意知设互换的是A观测站的研究员为事件A,
互换的是B观测站的研究员为事件B,则A、B互斥.
∵=
∴
即派往两地的A、B两个观测站的研究员人数不变的概率为
(II)根据题意,X的可能取值为2,3,4.
,
∴X的分布列为:
∴
有红蓝两粒质地均匀的正方体骰子,红色骰子有两个面是8,四个面是2,蓝色骰子有三个面是7,三个面是1,两人各取一只骰子分别随机掷一次,所得点数较大者获胜.
(Ⅰ)分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望;
(Ⅱ)求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?
正确答案
解:(Ⅰ)设红色骰子投掷所得点数为ξ1,其分布如下:
(2分).(3分)
设蓝色骰子投掷所得点数为ξ2,其分布如下:
(5分).(6分)
(Ⅱ)∵投掷骰子点数较大者获胜,
∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为7,红色骰子点数为2.(8分)
∴投掷蓝色骰子者获胜概率是.(10分)
解析
解:(Ⅰ)设红色骰子投掷所得点数为ξ1,其分布如下:
(2分).(3分)
设蓝色骰子投掷所得点数为ξ2,其分布如下:
(5分).(6分)
(Ⅱ)∵投掷骰子点数较大者获胜,
∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为7,红色骰子点数为2.(8分)
∴投掷蓝色骰子者获胜概率是.(10分)
某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株,设甲、乙两种大树移栽的成活率分别和
,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中:
(1)求甲种树成活的株数η的方差;
(2)两种大树各成活1株的概率;
(3)成活的株数ξ的分布列与期望.
正确答案
解:(1)甲种树每株成活的概率,
…3’
(2)设Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2
则Ak,Bl独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有,
..…5’
据此算得,
,
.
,
,
…7’
所求概率为…9’
(3)解法一:ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且,
,
=,
.
…11’
综上知ξ有分布列
..…12’
从而,的期望为=(株)..…14’
解法二:
分布列的求法同上
令ξ1,ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数,则..…11’
故有..…13’
从而知..…14’
解析
解:(1)甲种树每株成活的概率,
…3’
(2)设Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2
则Ak,Bl独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有,
..…5’
据此算得,
,
.
,
,
…7’
所求概率为…9’
(3)解法一:ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且,
,
=,
.
…11’
综上知ξ有分布列
..…12’
从而,的期望为=(株)..…14’
解法二:
分布列的求法同上
令ξ1,ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数,则..…11’
故有..…13’
从而知..…14’
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.
(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.
正确答案
解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X,则 ,k=1,2,3.
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:
∴EX=1×+2×+3×=2.
(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,所以,k=0,1,2,3,
;又,且P(X≥2)>P(Y≥2),
从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,因此甲的实验操作能力较强.
解析
解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X,则 ,k=1,2,3.
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:
∴EX=1×+2×+3×=2.
(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,所以,k=0,1,2,3,
;又,且P(X≥2)>P(Y≥2),
从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,因此甲的实验操作能力较强.
某数学老师在讲推理与证明时,用围棋子作教具,他在口袋里装有4粒白色围棋子和3粒黑色围棋子,每次摸出一粒后,不再放回,让学生猜测下次摸出围棋子的颜色.
(1)求这位老师前两次摸出的围棋子同色的概率;
(2)若前四次摸出白色围棋子的个数记为η,求Eη.
正确答案
解:(1)设前两次摸出的围棋子同为白色的概率为P1,同为黑色的概率为P2,
则P=P1+P2==
;
(2)设摸出一粒白色围棋子为事件A,摸出两粒白色围棋子为事件B,摸出三粒白色围棋子为事件B,摸出四粒白色围棋子为事件D,则
P(A)==
,P(B)=
=
,P(C)=
=
,P(D)=
=
,
∴Eη=1×+2×
+3×
+4×
=
.
解析
解:(1)设前两次摸出的围棋子同为白色的概率为P1,同为黑色的概率为P2,
则P=P1+P2==
;
(2)设摸出一粒白色围棋子为事件A,摸出两粒白色围棋子为事件B,摸出三粒白色围棋子为事件B,摸出四粒白色围棋子为事件D,则
P(A)==
,P(B)=
=
,P(C)=
=
,P(D)=
=
,
∴Eη=1×+2×
+3×
+4×
=
.
一袋子中有大小、质量均相同的10个小球,其中标记“开”字的小球有5个,标记“心”字的小球有3个,标记“乐”字的小球有2个.从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中,再从中任取1个球.不断重复以上操作,最多取3次,并规定若取出“乐”字球,则停止摸球.
求:(Ⅰ)恰好摸到2个“心”字球的概率;
(Ⅱ)摸球次数X的概率分布列和数学期望.
正确答案
(Ⅰ)解:恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形:
开心心,心开心,心心开,心心乐.
则恰好摸到2个“心”字球的概率:
.…(6分)
(Ⅱ)解:X=1,2,3,
则 ,
,
.…(10分)
故取球次数X的分布列为
.…(14分)
解析
(Ⅰ)解:恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形:
开心心,心开心,心心开,心心乐.
则恰好摸到2个“心”字球的概率:
.…(6分)
(Ⅱ)解:X=1,2,3,
则 ,
,
.…(10分)
故取球次数X的分布列为
.…(14分)
四枚不同的金属纪念币A、B、C、D,投掷时,A、B两枚正面向上的概率为分别为,另两枚C、D正面向上的概率分别为a(0<a<1).这四枚纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的枚数.
(1)若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等,求a的值;
(2)求ξ的分布列及数学期望(用a表示);
(3)若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大,求a的取值范围.
正确答案
解:(1)设从M中任取一个元素是(3,5)的事件为B,则P(B)=,
所以从M中任取一个元素是(3,5)的概率为,
(2)设从M中任取一个元素,x+y≥10的事件为C,有
(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)
则P(C)=,所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为
.
(3)ξ可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
,P(ξ=4)=
,P(ξ=5)=
,P(ξ=6)=
,P(ξ=7)=
,
P(ξ=8)=,P(ξ=9)=
,P(ξ=10)=
,P(ξ=11)=
,P(ξ=12)=
,
∴ξ的分布列为
∴Eξ=
=7.
解析
解:(1)设从M中任取一个元素是(3,5)的事件为B,则P(B)=,
所以从M中任取一个元素是(3,5)的概率为,
(2)设从M中任取一个元素,x+y≥10的事件为C,有
(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)
则P(C)=,所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为
.
(3)ξ可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
,P(ξ=4)=
,P(ξ=5)=
,P(ξ=6)=
,P(ξ=7)=
,
P(ξ=8)=,P(ξ=9)=
,P(ξ=10)=
,P(ξ=11)=
,P(ξ=12)=
,
∴ξ的分布列为
∴Eξ=
=7.
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