- 计数原理
- 共11505题
某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）
按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设该公司共n人，
由题意得，
解得，n=500；
则a=500-（180+120+70+20+30）=80；
（2）X的所有取值为0，1，2，则
在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5-2=3．
P（X=0）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（1）设该公司共n人，
由题意得，
解得，n=500；
则a=500-（180+120+70+20+30）=80；
（2）X的所有取值为0，1，2，则
在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5-2=3．
P（X=0）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．先从盒子中任取2个球（假设取到每个球的可能性相同），设取到两个球的编号之和为ξ．
（1）求随机变量ξ的分布列；
（2）求两个球编号之和大于6的概率．
正确答案
解：（1）ξ的取值为2，3，4，6，7，10…（1分）
ξ的分布列为
…（9分）
（2）两个球编号之和大于6的概率…（13分）
解析
解：（1）ξ的取值为2，3，4，6，7，10…（1分）
ξ的分布列为
…（9分）
（2）两个球编号之和大于6的概率…（13分）
袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球．
（1）求取出的红球数ξ的概率分布列；
（2）若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．
正确答案
解：（1）∵ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ的分布列是一个超几何分布列．
∴ξ的分布列为
（2）∵得分η=2ξ+4-ξ=ξ+4≤5∴ξ≤1，
∵p（ξ≤1）=p（ξ=0）+p（ξ=1）=
∴得分不超过（5分）的概率为
解析
解：（1）∵ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ的分布列是一个超几何分布列．
∴ξ的分布列为
（2）∵得分η=2ξ+4-ξ=ξ+4≤5∴ξ≤1，
∵p（ξ≤1）=p（ξ=0）+p（ξ=1）=
∴得分不超过（5分）的概率为
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为x的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x-300（130-x）=800x-39000，
当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，
∴T=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，
所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．
解析
解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x-300（130-x）=800x-39000，
当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，
∴T=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，
所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．
（文科）设随机变量X的分布列为P（X=i）=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵P（X=i）=
∴
∴
∴a=3，
∴P（X=2）=
故选C．
某汽车配件厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的一等品率为
（1）求生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率；
（2）记X（单位：万元）为生产1件A型产品和1件B型产品可获得的利润，求X的分布列及期望值．
正确答案
解：（1）由题意得一等品件数为3或4
∴P=C430.83×0.2+C440.84=0.8192
即生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192
（2）由题意X的所有可能取值为10，5，2，-3
P（X=10）=0.8×0.9=0.72；
P（X=5）=0.2×0.9=0.18P
（X=2）=0.8×0.1=0.08P
（X=-3）=0.2×0.1=0.02
∴X的分布列为
EX=（-3）×0.02+2×0.08+5×0.18+10×0.72=8.2
解析
解：（1）由题意得一等品件数为3或4
∴P=C430.83×0.2+C440.84=0.8192
即生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192
（2）由题意X的所有可能取值为10，5，2，-3
P（X=10）=0.8×0.9=0.72；
P（X=5）=0.2×0.9=0.18P
（X=2）=0.8×0.1=0.08P
（X=-3）=0.2×0.1=0.02
∴X的分布列为
EX=（-3）×0.02+2×0.08+5×0.18+10×0.72=8.2
在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：
据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：
正确答案
解：（1）由题X2=
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．…4 分
（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．…（6分）
①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，
则P（A∩B）=
所以P（B|A）=
②由题X的可能值有0，1，2．依题P（X=0）=
P（X=2）=
从而X的分布列为：
…（11分）
于是EX=0×+1×+2×=．…（12分）
解析
解：（1）由题X2=
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．…4 分
（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．…（6分）
①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，
则P（A∩B）=
所以P（B|A）=
②由题X的可能值有0，1，2．依题P（X=0）=
P（X=2）=
从而X的分布列为：
…（11分）
于是EX=0×+1×+2×=．…（12分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．
正确答案
解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（Ak）=C2k（
据此算得P（A0）=
P（B0）=
（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=
P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=
P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=
P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=
P（ξ=4）=P（A2•B2）=
综上知ξ有分布列
从而，ξ的期望为
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）
故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．
解析
解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（Ak）=C2k（
据此算得P（A0）=
P（B0）=
（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=
P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=
P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=
P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=
P（ξ=4）=P（A2•B2）=
综上知ξ有分布列
从而，ξ的期望为
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）
故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．
在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是
∴是一个独立重复试验，
记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定击中，
∴
（Ⅱ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
当ξ=2时，表示两枪都击中，
当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，
当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，
当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况
∴
∴ξ的分布列为
∴所求ξ的数学期望为
解析
解：（Ⅰ）∵每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是
∴是一个独立重复试验，
记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定击中，
∴
（Ⅱ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
当ξ=2时，表示两枪都击中，
当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，
当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，
当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况
∴
∴ξ的分布列为
∴所求ξ的数学期望为
甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求
（Ⅰ）摸出3个白球的概率；
（Ⅱ）摸出至少两个白球的概率；
（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（I）设“从这两个箱子里各随机摸出2个球，摸出i个白球”为事件Ai=（i=0，1，2，3），
则
（Ⅱ） 设“至少两个白球”为事件B，则B=A2∪A3，
又
且A2，A3互斥，所以
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．
所以X的分布列是
X的数学期望=．
解析
解：（I）设“从这两个箱子里各随机摸出2个球，摸出i个白球”为事件Ai=（i=0，1，2，3），
则
（Ⅱ） 设“至少两个白球”为事件B，则B=A2∪A3，
又
且A2，A3互斥，所以
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．
所以X的分布列是
X的数学期望=．
在含有2件次品的10件产品中，任取三件进行检验，试求：
（1）取到2件次品的概率；
（2）在已知一件次品被取到的条件下，另一件次品也被取到的概率；
（3）取到次品数X的分布列及均值EX．
正确答案
解：（1）从10件产品中，任取三件的事件数为
记“取到2件次品”为事件A，由分步计数原理及组合数公式，得
故有 
（2）记“取到一件次品”为事件B；“另一件次品也被取到”为事件C.
于是
即在已知一件次品被取到的条件下，另一件次品也被取到的概率
（3）次品数X的服从超几何分布.
再求得 
…（12分）
．
解析
解：（1）从10件产品中，任取三件的事件数为
记“取到2件次品”为事件A，由分步计数原理及组合数公式，得
故有
（2）记“取到一件次品”为事件B；“另一件次品也被取到”为事件C.
于是
即在已知一件次品被取到的条件下，另一件次品也被取到的概率
（3）次品数X的服从超几何分布.
再求得
…（12分）
．
正确答案
解析
解：由概率分布列的性质可得a+b+c=
再由D（X）=1可得 12×a+12×c+22×
由以上解得a=
故答案为 
一位射击选手以往1000发子弹的射击结果统计如下表：
假设所打环数只取整数，试根据以上统计数据估算：
（1）设该选手一次射击打出的环数为ξ，求P（ξ≥7.5），Eξ；
（2）他射击5次至多有三次不小于8环的概率；
（3）在一次比赛中，该选手的发挥超出了按上表统计的平均水平．若已知他在10次射击中，每一次的环数都不小于6，且其中有6环、8环各1个，2个7环，试确定该选手在这次比赛中至少打出了多少个10环．
正确答案
解：（1）ξ 的分布列为：
∴P（ξ≥7.5）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=0.20+0.35+0.25=0.8．
∴Eξ=10×0.25+9×0.35+8×0.20+7×0.13+6×0.05+5×0.02
=8.56．
（2）他射击5次至多有三次不小于8环的对立事件是有4次不小于8环的有5次不小于8环，
∵有4次不小于8环的概率是：P5（4）=C54•0.84•0.2=0.4096，
有5次不小于8环的概率是：P5（5）=C55（0.8）5=0.32768，
故他射击5次至多有三次不小于8环的概率为：
1-0.4096-0.32768=0.26272．
（3）设这次比赛中该选手打出了m个9环，n个10环，则依此次比赛的结果该选手所打出的环数η的分布列为：
Eη=n++2.8，
∵Eη＞Eξ，
∴n+＞5.76，
∵m+n=6，
∴n＞3.6．
故在此次比赛中该选手至少打出了4个10环．
解析
解：（1）ξ 的分布列为：
∴P（ξ≥7.5）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=0.20+0.35+0.25=0.8．
∴Eξ=10×0.25+9×0.35+8×0.20+7×0.13+6×0.05+5×0.02
=8.56．
（2）他射击5次至多有三次不小于8环的对立事件是有4次不小于8环的有5次不小于8环，
∵有4次不小于8环的概率是：P5（4）=C54•0.84•0.2=0.4096，
有5次不小于8环的概率是：P5（5）=C55（0.8）5=0.32768，
故他射击5次至多有三次不小于8环的概率为：
1-0.4096-0.32768=0.26272．
（3）设这次比赛中该选手打出了m个9环，n个10环，则依此次比赛的结果该选手所打出的环数η的分布列为：
Eη=n++2.8，
∵Eη＞Eξ，
∴n+＞5.76，
∵m+n=6，
∴n＞3.6．
故在此次比赛中该选手至少打出了4个10环．
从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求E（5ξ-1）．
正确答案
解：（1）由题意知抽得次品数ξ的可能取值是0，1，2
当变量为0时，表示抽到的都是正品，P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布如下：
（2）由（1）知
∴
解析
解：（1）由题意知抽得次品数ξ的可能取值是0，1，2
当变量为0时，表示抽到的都是正品，P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布如下：
（2）由（1）知
∴
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）
正确答案
解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为
（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为
随机变量X可取n，n+1，n+2
P（X=n）=（1-p）2=
分布列如下
∴E（X）=n×+（n+1）×+（n+2）×=n+1
解析
解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为
（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为
随机变量X可取n，n+1，n+2
P（X=n）=（1-p）2=
分布列如下
∴E（X）=n×+（n+1）×+（n+2）×=n+1
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