- 计数原理
- 共11505题
（Ⅰ）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；
（Ⅱ）从这20个路段中随机抽取3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.10+0.05=0.15，
则20个路段中出现严重拥堵的路段有0.15×20=3，概率计算
记事件B“这两个路段至少有一个未出现严重拥堵”，
则P（
即有P（B）=1-P（
这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率为
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.10+0.05=0.15，
则20个路段中出现严重拥堵的路段有0.15×20=3，概率计算
记事件B“这两个路段至少有一个未出现严重拥堵”，
则P（
即有P（B）=1-P（
这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率为
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
（Ⅰ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
（i）求恰好摸5次停止的概率；
（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望Eξ．
（Ⅱ）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
正确答案
解：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到
C42×××=．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，3；
由n次独立重复试验概率公式Pn（k）=Cnkpk（1-p）n-k，得
P（ξ=0）=C50×=；
P（ξ=1）=C51××=；
P（ξ=2）=C52××=；
P（ξ=3）=++=．
随机变量ξ的分布列是
∴ξ的数学期望是Eξ=×0+×1+×2+×3=．
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．
试验发生的所有事件是3m，
而满足条件的是，
根据古典概型公式得到
=，
∴p=．
解析
解：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到
C42×××=．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，3；
由n次独立重复试验概率公式Pn（k）=Cnkpk（1-p）n-k，得
P（ξ=0）=C50×=；
P（ξ=1）=C51××=；
P（ξ=2）=C52××=；
P（ξ=3）=++=．
随机变量ξ的分布列是
∴ξ的数学期望是Eξ=×0+×1+×2+×3=．
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．
试验发生的所有事件是3m，
而满足条件的是，
根据古典概型公式得到
=，
∴p=．
（Ⅰ）求甲恰有一次获得一等奖的概率；
（Ⅱ）求甲获得20元奖金的概率；
（Ⅲ）记甲获得奖金金额为X，求X的分布列及期望EX．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，一等奖的概率为
∴甲恰有一次获得一等奖的概率为
（Ⅱ）甲获得20元奖金的概率为0.2×0.2+
（Ⅲ）X=30，25，20，15，10，则
P（X=30）=0.1×0.1=0.01，P（X=25）=
P（X=15）=
X的分布列
EX=30×0.01+25×0.04+20×0.18+15×0.28+10×0.49=14．
解析
解：（Ⅰ）由题意，一等奖的概率为
∴甲恰有一次获得一等奖的概率为
（Ⅱ）甲获得20元奖金的概率为0.2×0.2+
（Ⅲ）X=30，25，20，15，10，则
P（X=30）=0.1×0.1=0.01，P（X=25）=
P（X=15）=
X的分布列
EX=30×0.01+25×0.04+20×0.18+15×0.28+10×0.49=14．
甲、乙两人共同投掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积3分者获胜，并结束游戏．
①求在前3次投掷中甲得2分，乙得1分的概率．
②设ξ表示到游戏结束时乙的得分，求ξ的分布列以及期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型
试验发生的事件是掷一枚硬币3次，出现的所有可能情况共有以下8种．
（正正正）、（正正反）、（正反反）、（反反反）、（正反正）、（反正正）、（反反正）、（反正反）、
其中甲得（2分），乙得（1分）的情况有以下3种，（正正反）、（正反正）、（反正正）
∴所求概率
（2）ξ的所有可能值为：0、1、2、3
∴ξ的分布列为：
∴
解析
解：（1）由题意知本题是一个古典概型
试验发生的事件是掷一枚硬币3次，出现的所有可能情况共有以下8种．
（正正正）、（正正反）、（正反反）、（反反反）、（正反正）、（反正正）、（反反正）、（反正反）、
其中甲得（2分），乙得（1分）的情况有以下3种，（正正反）、（正反正）、（反正正）
∴所求概率
（2）ξ的所有可能值为：0、1、2、3
∴ξ的分布列为：
∴
为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自于同一支球队的概率；
（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，并求ξ的均值（数学期望）．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是这18名队员中随机选出两名，共有C182种结果，
“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，
满足条件的事件是两人来自于同一支球队，包括四种情况，共有C42+C62+C32+C52
∴
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2．
∵
∴ξ的分布列为
∴．
解析
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是这18名队员中随机选出两名，共有C182种结果，
“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，
满足条件的事件是两人来自于同一支球队，包括四种情况，共有C42+C62+C32+C52
∴
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2．
∵
∴ξ的分布列为
∴．
某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为
（1）求m，n．
（2）设X为该同学取得优秀成绩的课程门数，求EX．
正确答案
（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C，
∴P（A）=
由已知条件可知：P（ABC）=
∴
又m＞n，则m=
（2）∵X=0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=P（A
P（X=2）=P（AB
P（X=3）=P（ABC）=
∴x的分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C，
∴P（A）=
由已知条件可知：P（ABC）=
∴
又m＞n，则m=
（2）∵X=0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=P（A
P（X=2）=P（AB
P（X=3）=P（ABC）=
∴x的分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
正确答案
解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
P（ξ=6）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=
故
解析
解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
P（ξ=6）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=
故
在一次购物抽奖活动中，假设某6张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券1张，每张可获价值20元的奖品；其余4张没有奖．某顾客从此6张中任抽1张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客参加此活动可能获得的奖品价值的期望值．
正确答案
解析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
从6张中抽6张有6种结果，
抽到的中奖有2种结果，
故
（2）顾客获得的奖品总价值X（元），X的所有可能值为：0，20，50（元），…．（4分）
且
故X的分布列为
…（8分）
E（X）==，
所以该顾客参加此活动可能获得奖品价值的期望值是元．…（10分）
解析
解析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
从6张中抽6张有6种结果，
抽到的中奖有2种结果，
故
（2）顾客获得的奖品总价值X（元），X的所有可能值为：0，20，50（元），…．（4分）
且
故X的分布列为
…（8分）
E（X）==，
所以该顾客参加此活动可能获得奖品价值的期望值是元．…（10分）
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值．
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a=0.035，b=0.025．（4分）
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．（6分）
从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150，200，250，300．
P（X=150）=
P（X=200）=
P（X=250）=
P（X=300）=
∴X的分布列为：
（10分）
EX=150×+200×+250×+300×=210．（12分）
解析
解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a=0.035，b=0.025．（4分）
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．（6分）
从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150，200，250，300．
P（X=150）=
P（X=200）=
P（X=250）=
P（X=300）=
∴X的分布列为：
（10分）
EX=150×+200×+250×+300×=210．（12分）
（Ⅰ）求直方图t的值；
（Ⅱ）现有6名学生路上时间小于4分钟，其中2人路上时间小于2分钟．从这6人中任意选出2人，设这2人路上时间小于2分钟人数记为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）由题意知（2×0.03+0.065+0.125+t）×2=1
解之得t=0.25． …（5分）
（Ⅱ）由题意知X的取值可能为0，1，2 …（6分）
P（X=i）=
所以X的分布列为：
…（11分）
所以E（X）=+=．…（12分）
解析
（Ⅰ）由题意知（2×0.03+0.065+0.125+t）×2=1
解之得t=0.25． …（5分）
（Ⅱ）由题意知X的取值可能为0，1，2 …（6分）
P（X=i）=
所以X的分布列为：
…（11分）
所以E（X）=+=．…（12分）
一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的．
（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）．某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率：
P=
（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P=
随机变量ξ服从二项分布B（3，
∴ξ的分布列为：…（12分）
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
Eξ=3×=2． …（14分）
解析
解：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率：
P=
（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P=
随机变量ξ服从二项分布B（3，
∴ξ的分布列为：…（12分）
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
Eξ=3×=2． …（14分）
（Ⅰ）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）现决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）解：由题意知，第3组的频率为
即①位置相应的数字为0.3；
第4组的频数为0.2×100=20人，
即②位置相应的数字为20．
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有30+20+10=60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取12名学生，每组分别为：
第3组：
第4组：
第5组：
所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人进入第二轮的面试．
（Ⅲ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×+1×+2×+3×=1．
解析
解：（Ⅰ）解：由题意知，第3组的频率为
即①位置相应的数字为0.3；
第4组的频数为0.2×100=20人，
即②位置相应的数字为20．
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有30+20+10=60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取12名学生，每组分别为：
第3组：
第4组：
第5组：
所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人进入第二轮的面试．
（Ⅲ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×+1×+2×+3×=1．
袋子中装有大小形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足m＞n≥2且m+n≤l0（m，n∈N+），若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．
（I）求m，n的值；
（Ⅱ）从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为f，求f的分布列与数学期望．
正确答案
解：（I）据题意得到
解得m=6，n=3
（II）f的取值为0，1，2，3，
P（f=0）=
P（f=2）=
f的分布列为
所以Ef=
解析
解：（I）据题意得到
解得m=6，n=3
（II）f的取值为0，1，2，3，
P（f=0）=
P（f=2）=
f的分布列为
所以Ef=
一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ=______（结果用最简分数作答）．
正确答案
解析
解：由题意，ξ～H（3，2，7），
所以Eξ=
故答案为：
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
（注：方差
正确答案
解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为
方差为s2=
（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）=
解析
解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为
方差为s2=
（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）=
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