- 计数原理
- 共11505题
某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按成绩（满分100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：
（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；
（2）数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作
时间；物理合格一人可赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，
（i）记X为数学一人和物理一人所赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（ii）随机抽取5名学生，求这5名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，-3．则P（X=9）=
所以，随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5-n人，
依题意，得5n-2（5-n）≥14，解得n≥所以n=4或n=5．
设“抽查5位同学物理考前辅导后进行的测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时为事件A，则P（A）=
解析
解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，-3．则P（X=9）=
所以，随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5-n人，
依题意，得5n-2（5-n）≥14，解得n≥所以n=4或n=5．
设“抽查5位同学物理考前辅导后进行的测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时为事件A，则P（A）=
（1）分别计算甲乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由．
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取三名同学，设身高在（160，190）之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意，
∴
估计甲、乙两班同学的身高且乙班同学的身高相对整齐，甲班同学身高差距较大；
（2）X=0，1，2，3
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（1）由题意，
∴
估计甲、乙两班同学的身高且乙班同学的身高相对整齐，甲班同学身高差距较大；
（2）X=0，1，2，3
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
若随机变量X的概率分布如下表，则表中a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由离散型随机变量的分布列的性质知道
0.2+0.3+0.3+a=1
a=0.2
验证符合概率的范围．，
故选D．
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
故Eξ=0×+1×+2×+3×=…（9分）
（Ⅲ） 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P（A）=C×C=
P（B）=C×C=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P（A）+P（B）=．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
故Eξ=0×+1×+2×+3×=…（9分）
（Ⅲ） 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P（A）=C×C=
P（B）=C×C=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P（A）+P（B）=．…（13分）
已知盒中有5个红球、n个白球，共5+n个球，从盒中每次摸取一个球，然后放回，连续摸取三次，设每次摸取时每个球被摸到的概率是相等的．若第一次和第三次均摸到白球的概率为
（Ⅰ）求盒中的球的总数；
（Ⅱ）求三次摸取中摸到白球的次数的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“摸取一次得到白球”为事件A，则P（A）=
在三次独立重复试验中，第一次、第三次均取到白球的概率为
∴n=1，
即盒中有5个红球，1个白球，盒中的球的总数为6．
（Ⅱ）P（A）=
设ξ是三次取球中取到白球的次数，则ξ～B（3，
ξ的分布列为
Eξ=3×．
解析
解：（Ⅰ）设“摸取一次得到白球”为事件A，则P（A）=
在三次独立重复试验中，第一次、第三次均取到白球的概率为
∴n=1，
即盒中有5个红球，1个白球，盒中的球的总数为6．
（Ⅱ）P（A）=
设ξ是三次取球中取到白球的次数，则ξ～B（3，
ξ的分布列为
Eξ=3×．
某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
由题意，得 
∴P=P1•P2=
（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，
分布列为
解析
解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
由题意，得
∴P=P1•P2=
（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，
分布列为
我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X．
（1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）
（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，
∵取球过程是有放回的，
∴每次取出红球的概率为
∴∴
数学期望为．
解析
解：（1）
（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，
∵取球过程是有放回的，
∴每次取出红球的概率为
∴∴
数学期望为．
某高中学生会就“2014央视春晚整体满意度”在该校师生中随机抽取了300人进行问卷调查，调查结果如下表所示：
（1）若从上述300人中按照分层抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，求这3人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为2的概率；
（2）现从（1）所抽取6人的问卷中每次抽取1份，且进行不放回抽取，直至确定所有持“很好看”态度的问卷为止，记索要抽取的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（1）若从这300人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，
则认为很好看的人有2人，认为一般的人有3人，认为不好看的人有1人，
从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，则有
这3人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为2的情况有：
∴这3人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为2的概率为
（2）由题意，X=2，3，4，5，则
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的分布列
EX=2×+3×+4×+5×=．
解析
解：（1）若从这300人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，
则认为很好看的人有2人，认为一般的人有3人，认为不好看的人有1人，
从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，则有
这3人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为2的情况有：
∴这3人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为2的概率为
（2）由题意，X=2，3，4，5，则
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的分布列
EX=2×+3×+4×+5×=．
已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其它区别）．若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
（Ⅰ）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；
（Ⅱ）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）．
正确答案
解：（I）由题意知：
P=
当且仅当x=y时，取等号，故当P取得最大值时x，y的值都为3．
（II）当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
则P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=，
所求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）=．
解析
解：（I）由题意知：
P=
当且仅当x=y时，取等号，故当P取得最大值时x，y的值都为3．
（II）当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
则P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=，
所求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）=．
甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（Ⅱ）随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，
则
即ξ的分布列如下表所示
…（10分）
解析
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（Ⅱ）随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，
则
即ξ的分布列如下表所示
…（10分）
已知罗坊会议纪念馆对每日参观人数量拥挤等级规定如表：
该纪念馆对3月份的参观人数量作出如图的统计数据：
（1）某人3月份连续2天到该纪念馆参观，求这2天他遇到的拥挤等级均为良的概率；
（2）从该纪念馆3月份参观人数低于100人的天数中随机选取3天，记这3天拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记“这2天他遇到的拥挤等级均为良”为事件A，
此人3月份连续2天到该纪念馆参观的所有结果共有30种，其中这2天他遇到的拥挤等级均为良的结果有4种：
∴P（A）=
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，从该纪念馆3月份参观人数低于100人的天数为16，其中拥挤等级均为优的天为5，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
E（ξ）=+1×+2×+3×=．
解析
解：（1）记“这2天他遇到的拥挤等级均为良”为事件A，
此人3月份连续2天到该纪念馆参观的所有结果共有30种，其中这2天他遇到的拥挤等级均为良的结果有4种：
∴P（A）=
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，从该纪念馆3月份参观人数低于100人的天数为16，其中拥挤等级均为优的天为5，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
E（ξ）=+1×+2×+3×=．
一个盒子中有标号分别是1、2、3、4、5的五个大小形状完全相同的小球，现从盒子中随机摸球．
（1）从盒中依次摸两次球，每次摸1个，摸出的球不放回，若两次摸出球上的数字全是奇数或全是偶数为胜，则某人摸球两次取胜的概率是多大？
（2）从盒子中依次摸球，每次摸球1个，摸出的球不放回，当摸出记有奇数的球即停止摸球，否则继续摸球，求摸球次数X的分布列和期望．
正确答案
解：（1）由题意可得：某人摸球两次取胜的概率P=
（2）∵P（X=1）=
其数学期望EX=
解析
解：（1）由题意可得：某人摸球两次取胜的概率P=
（2）∵P（X=1）=
其数学期望EX=
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，设3次摸球所得总分为ξ，求ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（I）一共有8种结果，分别是（红、红、红）；（红、红、黑）；（红、黑、红）；（红、黑、黑）；（黑、红、红）；（黑、红、黑）；（黑、黑、红）；（黑、黑、黑）
（II）ξ的可能取值为3，4，5，6，且P（ξ=3）=
分布列为
Eξ=3×+4×+5×+6×=4.5．
解析
解：（I）一共有8种结果，分别是（红、红、红）；（红、红、黑）；（红、黑、红）；（红、黑、黑）；（黑、红、红）；（黑、红、黑）；（黑、黑、红）；（黑、黑、黑）
（II）ξ的可能取值为3，4，5，6，且P（ξ=3）=
分布列为
Eξ=3×+4×+5×+6×=4.5．
学校为3名学生提供甲、乙、丙、丁4个不同兴趣小组，每个同学任选其中一个．
（1）求3个同学选择3个不同兴趣小组的概率；
（2）求选择甲兴趣小组的人数的数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是43，
满足条件的事件是3个旅游团选择3条不同的线路有A43
∴3个同学选择3个不同兴趣小组的概率为
（2）设选择甲兴趣小组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为：
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
（另解：ξ～，∴）
故选择甲兴趣小组的人数的数学期望为．
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是43，
满足条件的事件是3个旅游团选择3条不同的线路有A43
∴3个同学选择3个不同兴趣小组的概率为
（2）设选择甲兴趣小组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为：
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
（另解：ξ～，∴）
故选择甲兴趣小组的人数的数学期望为．
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y），记ξ=
（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ
因此，随机变量ξ的最大值为5．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
即随机变量ξ的最大值为5，事件“ξ取得最大值”的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，5．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴P（ξ=0）=
当ξ=5时，由（Ⅰ）知P（ξ=5）=
∴随机变量ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=0×+1×+2×+5×=2
解析
解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ
因此，随机变量ξ的最大值为5．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
即随机变量ξ的最大值为5，事件“ξ取得最大值”的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，5．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴P（ξ=0）=
当ξ=5时，由（Ⅰ）知P（ξ=5）=
∴随机变量ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=0×+1×+2×+5×=2
扫码查看完整答案与解析