- 计数原理
- 共11505题
某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．
（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）=
所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，
由于有A，B，C三家社区医院，所以P（B）=3×
所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是P（
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 …（9分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
…（12分）
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=． …（13分）
解析
解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）=
所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，
由于有A，B，C三家社区医院，所以P（B）=3×
所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是P（
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 …（9分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
…（12分）
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=． …（13分）
有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，规定每个学生可随机坐一个座位，记学生所坐的座位编号与该生的编号不同的学生数为X，若当X=2时，共有6种坐法．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求2号学生未坐2号座位且4号学生入坐4号座位的概率；
（Ⅲ）求随机变量X的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵当X=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即
∴n2-n-12=0，
∴n=4或n=-3（舍去），
∴n=4． …（3分）
（Ⅱ）记“2号学生未坐2号座位且4号学生入坐4号座位”为事件A．
4名学生随机入座4个座位共有
故P（A）=
（Ⅲ）X的所有可能取值为：0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
则P（X=0）=
故EX=0×
解析
解：（Ⅰ）∵当X=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即
∴n2-n-12=0，
∴n=4或n=-3（舍去），
∴n=4． …（3分）
（Ⅱ）记“2号学生未坐2号座位且4号学生入坐4号座位”为事件A．
4名学生随机入座4个座位共有
故P（A）=
（Ⅲ）X的所有可能取值为：0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
则P（X=0）=
故EX=0×
某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数N=n1，n2，n3，n4，n5，n6，其中N的各位数中，n1=n6=1，nk（k=2，3，4，5）出现0的概率为
正确答案
解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．
∵n1=n6=1，
∴
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望为
解析
解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．
∵n1=n6=1，
∴
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望为
某教育机构进行课程促销活动，促销方案是：学员每一次性购买60小时，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
（1）求ξ的所有可能取值；
（2）求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）设随机变量η表示中奖次数，则η的所有可能取值为0，1，2，3．当η=0时，ξ=18000；当η=1时，ξ=18000-1000=17000；当η=2时，ξ=18000-2000=16000；当η=3时，ξ=18000-3000=15000．故ξ的所有可能取值为15000，16000，17000，18000；
（2）由题意可知：η～B
∴P（ξ=18000）=P（η=0）=
故其分布列为
故Eξ=
解析
解：（1）设随机变量η表示中奖次数，则η的所有可能取值为0，1，2，3．当η=0时，ξ=18000；当η=1时，ξ=18000-1000=17000；当η=2时，ξ=18000-2000=16000；当η=3时，ξ=18000-3000=15000．故ξ的所有可能取值为15000，16000，17000，18000；
（2）由题意可知：η～B
∴P（ξ=18000）=P（η=0）=
故其分布列为
故Eξ=
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）必须要走到1号门才能走出，ξ（2）可能的取值为1，3，4，6，
分布列为：
（2）小时．
解析
解：（1）必须要走到1号门才能走出，ξ（2）可能的取值为1，3，4，6，
分布列为：
（2）小时．
若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p=0.5，则E（X）和D（X）分别为（ ）
正确答案
解析
解：∵X服从两点分布，
∴X的概率分布为
∴E（X）=0×0.5+1×0.5=0.5，
D（X）=0.52×0.5+（1-0.5）2×0.5=0.25．
故选A．
龙是十二生肖中唯一虚构的动物，中国人对它却是又敬又怕、有一种特殊的感情，龙的地位之高任何动物也无法与之比较，中国人心中，它是一种能呼风唤雨，腾云驾雾的神物．帝王自称自己是真龙天子、百姓自称自己是龙的传人．2012年是中国的农历龙年，为了庆祝龙年的到来，某单位的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和5个白球，这些球除了颜色外完全相同．一次从中摸出2个球，并且规定：摸到2个白球中三等奖，能够得到奖金200元；摸到1个红球，1个白球中二等奖，能够得到奖金600元；摸到2个红球，中一等奖，能够得到奖金1000元．
（Ⅰ）求某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率．
（Ⅱ）假设某人参与摸奖一次，所得的奖金为ξ元，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：记“摸到两个白球且得到200元奖金为事件A”，“摸到1个白球，一个红球且得到600元奖金为事件B”，“摸到两个红球且得到1000元奖金为事件C”，由题意可以知道：
（Ⅰ）某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率为：
（Ⅱ）假设某人参与摸奖一次，所得的奖金为ξ元，则ξ的分布列如下
…（10分）
ξ的数学期望为：（元）．…．…（12分）
解析
解：记“摸到两个白球且得到200元奖金为事件A”，“摸到1个白球，一个红球且得到600元奖金为事件B”，“摸到两个红球且得到1000元奖金为事件C”，由题意可以知道：
（Ⅰ）某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率为：
（Ⅱ）假设某人参与摸奖一次，所得的奖金为ξ元，则ξ的分布列如下
…（10分）
ξ的数学期望为：（元）．…．…（12分）
正确答案
解析
解：设M表示事件“恰有两个区域用红色填充”：
当区域1、4同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域1、4不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又∵1、4为红色时，共有4×3×3=36种；
2、5为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
∴恰有两个区域用红色填充的概率P（M）=P（ξ=2）=
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005；
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=76.5…4分
（Ⅱ）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=0.4；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
…（12分）
所以 E（X）=0×+1×+2×+3×=…（13分）
解析
解：（Ⅰ）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005；
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=76.5…4分
（Ⅱ）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=0.4；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
…（12分）
所以 E（X）=0×+1×+2×+3×=…（13分）
已知盒中装有3个红球和4个黑球，且每球摸到的机会均等．
（Ⅰ）现从该盒中摸3次球，每次摸一个，记下颜色后放回原盒中，问3次中恰有两次摸到红球的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人从该盒中各一次性摸出3个球（摸后不放回），设甲摸到的红球数为m，乙摸到的红球数为n，令X=|m-n|，求X的分布列和数学期望E（X）．
正确答案
解：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=
设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，
∴3次中恰有两次摸到红球的概率P=
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．
①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；
②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；
③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；
④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．
因此X=0表示的是甲乙两个人都摸到一个红球时，
∴P（X=0）=
X=1表示的是甲摸到一个红球乙摸到两个红球，甲摸到两个红球乙摸到一个红球两种情况：
∴P（X=1）=
X=2表示的是甲摸到0个红球乙摸到两个红球，甲摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况：
∴P（X=2）=
X=3表示的是甲摸到0个红球乙摸到3个红球，甲摸到3个红球乙摸到0个红球两种情况：
P（X=3）=
故X的分布列为：
解析
解：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=
设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，
∴3次中恰有两次摸到红球的概率P=
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．
①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；
②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；
③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；
④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．
因此X=0表示的是甲乙两个人都摸到一个红球时，
∴P（X=0）=
X=1表示的是甲摸到一个红球乙摸到两个红球，甲摸到两个红球乙摸到一个红球两种情况：
∴P（X=1）=
X=2表示的是甲摸到0个红球乙摸到两个红球，甲摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况：
∴P（X=2）=
X=3表示的是甲摸到0个红球乙摸到3个红球，甲摸到3个红球乙摸到0个红球两种情况：
P（X=3）=
故X的分布列为：
一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为
（I）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（II）设该同学通过笔试的大学所数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）如果该同学通过各校笔试的概率分别为 
且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，
∴要求的概率是P=1-
（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0，1，2，3，那么
P（ξ=0）=
该同学恰好通过两所大学笔试包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
∴该同学恰好通过两所大学笔试的概率是P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴通过大学考试的所数ξ的分布列为
通过大学考试的所数ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=
解析
解：（I）如果该同学通过各校笔试的概率分别为
且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，
∴要求的概率是P=1-
（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0，1，2，3，那么
P（ξ=0）=
该同学恰好通过两所大学笔试包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
∴该同学恰好通过两所大学笔试的概率是P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴通过大学考试的所数ξ的分布列为
通过大学考试的所数ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1-
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为
右手所取的两球颜色相同的概率为
P（X=0）=（1-
P（X=1）=
P（X=2）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
解析
解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1-
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为
右手所取的两球颜色相同的概率为
P（X=0）=（1-
P（X=1）=
P（X=2）=
∴X的分布列为：
EX=0×+1×+2×=．
为了更好地普及消防知识，增强安全意识，某校举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条的得负2分，某参赛者随机用4条线把消防工具一对一全部连接起来
（Ⅰ）求该参赛者恰好能连对一条的概率；
（Ⅱ）若做这道连线题得正分者获奖，求该参赛者获奖的概率．
正确答案
解：（1）设该参赛者恰好连对一条的概率为P，则
∵一对一连线，共有
∴
（2）该参赛者获奖时，他至少连对两条线，则该参赛者获奖的概率为
解析
解：（1）设该参赛者恰好连对一条的概率为P，则
∵一对一连线，共有
∴
（2）该参赛者获奖时，他至少连对两条线，则该参赛者获奖的概率为
（1）求成绩在区间[80，90）的频率；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．
正确答案
解：（1）∵各组的频率之和为1，
∴成绩在区间[80，90）的频率为
1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，…（3分）
（2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有60×0.1=6人，
成绩在区间[90，100]内的学生有60×0.005×10=3人，…4 分
依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3…5 分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为
…（10分）
则均值Eξ==1．…（12分）
解析
解：（1）∵各组的频率之和为1，
∴成绩在区间[80，90）的频率为
1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，…（3分）
（2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有60×0.1=6人，
成绩在区间[90，100]内的学生有60×0.005×10=3人，…4 分
依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3…5 分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
所以ξ的分布列为
…（10分）
则均值Eξ==1．…（12分）
在一次语文测试中，有一道把我国近期新书：《声涯》、《关于上班这件事》、《长尾理论》、《游园惊梦：昆曲艺术审美之旅》与它们的作者连线题，已知连对一个得3分，连错一个不得分，一位同学该题得ξ分．
（1）求该同学得分不少于6分的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）ξ的可能取值为0，3，6，12 …2‘
该同学得分不少于（6分）的概率为
（2）
∴ξ的分布列为
…12′
解析
解：（1）ξ的可能取值为0，3，6，12 …2‘
该同学得分不少于（6分）的概率为
（2）
∴ξ的分布列为
…12′
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