- 计数原理
- 共11505题
某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为
（1）计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；
（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？
正确答案
解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本
所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=
（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，-1000，-2500．
P（ξ=5000）=
Eξ=5000×
设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，
即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，
解析
解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本
所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=
（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，-1000，-2500．
P（ξ=5000）=
Eξ=5000×
设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，
即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，
在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
正确答案
解：（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03，
∵q1=0.25，
∴解得q2=0.8．
（2）根据题意p1=p（ξ=2）=（1-q1）•
p2=p（ξ=3）=
p3=p（ξ=4）=（1-q1）
p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1-q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，
P（D）=
故P（D）＞P（C）．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．
解析
解：（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03，
∵q1=0.25，
∴解得q2=0.8．
（2）根据题意p1=p（ξ=2）=（1-q1）•
p2=p（ξ=3）=
p3=p（ξ=4）=（1-q1）
p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1-q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，
P（D）=
故P（D）＞P（C）．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．
把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ．
正确答案
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=
解析
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=
某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：
（1）若将API值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；
（2）API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润f（x）与API值x的函数关系为：f（x）=
正确答案
解：（1）根据统计数据出现好天的概率为0.4，
则连续两天出现“好天”的概率为0.4×0.4=0.16．
（2）X的所有可能取值为45，70，95，120
．P（X=45）=（0.6）3=0.216
P（X=120）=（0.4）3=0.064
E（X）=45×0.216+70×0.432+95×0.288+120×0.064=75
D（X）=（45-75）2×0.216+（70-75）2×0.432+（95-75）2×0.288+（120-75）2×0.064=450
解析
解：（1）根据统计数据出现好天的概率为0.4，
则连续两天出现“好天”的概率为0.4×0.4=0.16．
（2）X的所有可能取值为45，70，95，120
．P（X=45）=（0.6）3=0.216
P（X=120）=（0.4）3=0.064
E（X）=45×0.216+70×0.432+95×0.288+120×0.064=75
D（X）=（45-75）2×0.216+（70-75）2×0.432+（95-75）2×0.288+（120-75）2×0.064=450
根据十八大的精神，全国在逐步推进教育教学制度改革，各高校自主招生在高考录取中所占的比例正在逐渐加大．对此，某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲正确完成每道题的概率为
（Ⅱ）求考生乙能通过笔试进入面试的概率；
（Ⅲ）记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设考生甲至少正确完成2道题的概率为P，则P=
（Ⅱ）基本事件总数为
所以考生甲至少正确完成2道题的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为1，2，3，则
P（ξ=1）=
ξ的分布列为：
Eξ=1×+2×+3×=2．
解析
解：（Ⅰ）设考生甲至少正确完成2道题的概率为P，则P=
（Ⅱ）基本事件总数为
所以考生甲至少正确完成2道题的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为1，2，3，则
P（ξ=1）=
ξ的分布列为：
Eξ=1×+2×+3×=2．
从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．
（1）求概率P（X=
（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）
正确答案
解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有
∵正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为
则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，
故共有8•
故P（X=
（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，
若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种，
面积为
P（X=
故都不是棱，则为正三角形，面积为
P（X=
则分布列是
E（X）=+×+×=．
解析
解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有
∵正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为
则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，
故共有8•
故P（X=
（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，
若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种，
面积为
P（X=
故都不是棱，则为正三角形，面积为
P（X=
则分布列是
E（X）=+×+×=．
某校组建由2名男选手和n名女选手的“汉字听写大会”集训队，每次比赛均从集训队中任选2名选手参赛．
（Ⅰ）若n=2，记某次参赛被选中的男选手人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”比赛，每次从集训队中选2名选手，试问：当n为何值时，三次比赛恰有一次参赛选手性别相同的概率取得最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）n=2时，X=0，1，2，则
P（X=0）=
∴X的分布列
EX=0×+1×+2×=1；
（Ⅱ）一次比赛参赛选手性别相同的概率为P==，
∴f（P）==3P3-6P2+3P，
∴f′（P）=3（P-1）（3P-1），
∴P=时，f（P）取最大值，
∴=，∴n=2．
解析
解：（Ⅰ）n=2时，X=0，1，2，则
P（X=0）=
∴X的分布列
EX=0×+1×+2×=1；
（Ⅱ）一次比赛参赛选手性别相同的概率为P==，
∴f（P）==3P3-6P2+3P，
∴f′（P）=3（P-1）（3P-1），
∴P=时，f（P）取最大值，
∴=，∴n=2．
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；
（Ⅱ）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
则ξ的分布列为：
所以Eξ=．
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．
则ξ～B（3，），．所以Eξ=．
解析
解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；
（Ⅱ）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
则ξ的分布列为：
所以Eξ=．
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．
则ξ～B（3，），．所以Eξ=．
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
正确答案
解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，
①依题意，得P（X=60）=
即顾客所获得奖励额为60元的概率为
②依题意得X得所有可能取值为20，60，
P（X=60）=
即X的分布列为
所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，
如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，
对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1 的数学期望为E（X1）=．
X1 的方差D（X1）==，
对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2 的数学期望为E（X2）==60，
X2 的方差D（X2）=差D（X1）=．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．
解析
解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，
①依题意，得P（X=60）=
即顾客所获得奖励额为60元的概率为
②依题意得X得所有可能取值为20，60，
P（X=60）=
即X的分布列为
所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，
如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，
对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1 的数学期望为E（X1）=．
X1 的方差D（X1）==，
对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2 的数学期望为E（X2）==60，
X2 的方差D（X2）=差D（X1）=．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．
层出不穷的食品安全问题，已经极大地影响了公众对于食品安全的信心，抓紧食品安全刻不容缓．假设某种品牌的食品在进入市场前必须要对四项指标依次进行检测，如果第一项检测不合格则不能进入市场，则停止检测；若第一项检测合格，后三项中有两项检测不合格就不能进入市场，一旦检测出该品牌的食品不能进入市场或者能进入市场都要停止检测．已知每一项检测是相互独立的，第一项检测合格的概率为
（Ⅰ）求该品牌的食品不能进入市场的概率；
（Ⅱ）设停止检测时所进行的检测项数为ξ，求ξ的分布列和数学期．
正确答案
解：（Ⅰ）记“该品牌的食品不能进入市场”为事件A，则
∴P（A）=1-P（
∴该品牌的食品不能进入市场的概率为
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，3，4，则
P（ξ=1）=
故ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=1×+3×+4×=．
解析
解：（Ⅰ）记“该品牌的食品不能进入市场”为事件A，则
∴P（A）=1-P（
∴该品牌的食品不能进入市场的概率为
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，3，4，则
P（ξ=1）=
故ξ的分布列为：
ξ的数学期望Eξ=1×+3×+4×=．
在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）求这3个数和为18的概率；
（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件数C93，
满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，
这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到
（2）记“这3个数之和为18”为事件B，
考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，
分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
∴
（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件数C93，
满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，
这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到
（2）记“这3个数之和为18”为事件B，
考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，
分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
∴
（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下：（单位：cm）
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163；
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166；
（1）根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；
（2）若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的大学生中随机抽取3名同学，其中身高不低于平均身高的同学的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．
正确答案
解：（1）茎叶图如下：
统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合进的答案也给分）
①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
②南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐；
③南方大学生的身高的中位数为169.5cm，北方大学生的身高的中位数为172cm；
④南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散．（6分）
（2）X的可能取值为：0，1，2，3
随机变量X服从二项分布B～（3，
P（X=2）=
∴X的分布列为：
EX=3×= （12分）
解析
解：（1）茎叶图如下：
统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合进的答案也给分）
①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
②南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐；
③南方大学生的身高的中位数为169.5cm，北方大学生的身高的中位数为172cm；
④南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散．（6分）
（2）X的可能取值为：0，1，2，3
随机变量X服从二项分布B～（3，
P（X=2）=
∴X的分布列为：
EX=3×= （12分）
某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：
（Ⅰ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（Ⅱ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”有4人，
设“从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩””为事件A
则P（A）=
（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P=
ξ可以取0，1，2，3 …（7分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
ξ的分布列：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×= …（12分）
解析
解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”有4人，
设“从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩””为事件A
则P（A）=
（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P=
ξ可以取0，1，2，3 …（7分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
ξ的分布列：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×= …（12分）
甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数ξ的期望Eξ=2，每场比赛打满3局．在三场比赛中，至少有两场比赛甲胜1局或2局的概率为______．
正确答案
解析
解：由题意甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数ξ的期望Eξ=2，每场比赛打满3局，此是一个二项分布的问题，故有3p=2，故有p=
一场比赛中甲胜1局或2局的概率为
故三场比赛中甲至少有两场比赛胜1局或2局的概率为
故答案为：
某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．
则P（A）=
P（B）=
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．
P（C）=
（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．
故取球次数ξ的分布列为
=．
解析
解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．
则P（A）=
P（B）=
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．
P（C）=
（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．
故取球次数ξ的分布列为
=．
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