- 计数原理
- 共11505题
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（
P（B）=q2，P（
根据分布列知：ξ=0时，P（
所以1-q2=0.2，q2=0.8． …．（3分）
（2）当ξ=2时，P1=P（
当ξ=3时，P2=P
当ξ=4时，P3=P（
当ξ=5时，P4=P（A
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
解析
解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（
P（B）=q2，P（
根据分布列知：ξ=0时，P（
所以1-q2=0.2，q2=0.8． …．（3分）
（2）当ξ=2时，P1=P（
当ξ=3时，P2=P
当ξ=4时，P3=P（
当ξ=5时，P4=P（A
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生考试，高考前自主招生的程序为审核材料文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，已知甲、乙两人审核过关的概率分别为
（1）求甲，乙两人至少有一个通过审核的概率；
（2）设X表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设A为”甲，乙两人至少有一人通过审核”，则
故甲，乙两人至少有一个通过审核的概率为 
（2）X的可能取值为0，1，2 
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×=，
故X的数学期望为．
解析
解：（1）设A为”甲，乙两人至少有一人通过审核”，则
故甲，乙两人至少有一个通过审核的概率为
（2）X的可能取值为0，1，2
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×=，
故X的数学期望为．
已知随机变量X的分布列是：
且EX=7.5，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由分布列的性质得到0.3+0.1+0.2+b=1
∴b=0.4，
∵EX=7.5
∴EX=1.2+0.1a+3.6+2=7.5，
∴a=7．
故选C．
某班级艺术团的成员唱歌、跳舞至少擅长一项，已知擅长唱歌的有5人，擅长跳舞的有4人，设从艺术社团的成员中随机选2人，每位成员被选中的概率相等，选出的人中既擅长唱歌又擅长跳舞的人数为X，且P（X＞0）=
（Ⅰ）该班级艺术社团的人数；
（Ⅱ）随机变量X的均值E（X）．
正确答案
解：（Ⅰ）设艺术社团既擅长唱歌又擅长跳舞共有x人，则艺术社团有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅长一项的人数为（9-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=
整理为：19x2-153x+288=0，∴x=3，
∴9-x=6，即艺术社团有6人…（6分）
（Ⅱ）依（Ⅰ）有：艺术社团有6人，既擅长唱歌又擅长跳舞共有3人．
X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
∴EX=0×
解析
解：（Ⅰ）设艺术社团既擅长唱歌又擅长跳舞共有x人，则艺术社团有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅长一项的人数为（9-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=
整理为：19x2-153x+288=0，∴x=3，
∴9-x=6，即艺术社团有6人…（6分）
（Ⅱ）依（Ⅰ）有：艺术社团有6人，既擅长唱歌又擅长跳舞共有3人．
X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=
∴EX=0×
我校学生会要组建学生明星篮球队，需要在各班选拔预备队员．选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，投中4次及以上则进入A级，已知阿达每次投篮投中的概率是
（1）设阿达在5次投篮中，投中次数为X，求X的分布列和它的数学期望E（X）；
（2）求阿达投篮4次恰好进入B级的概率；
（3）为增加竞争力度，学生会下发新规：连续两次投篮不中必须停止投篮，求阿达投篮次数不超过4次的概率．
正确答案
解：（1）由已知X的取值为0，1，2，3，4，5，且
∴
∴X分布列为
…（4分）．…（6分）
（2）设“阿达投篮4次恰好进入B级”为事件A，
则．…（8分）
（3）设“阿达第i次投篮命中”为事件Ai（i=1，2，3，4），若i≠j，则Ai与Aj独立（i，j=1，2，3，4），根据新规：若连续两次投篮不中则停止投篮，阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：
①阿达共投篮两次，两次都不中，其概率为…（9分）
②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．其概率为…（11分）
③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即，又互斥．
故其概率为…（13分）
又①②③这三种情况两两互斥，故阿达投篮次数不超过4次的概率为（14分）
解析
解：（1）由已知X的取值为0，1，2，3，4，5，且
∴
∴X分布列为
…（4分）．…（6分）
（2）设“阿达投篮4次恰好进入B级”为事件A，
则．…（8分）
（3）设“阿达第i次投篮命中”为事件Ai（i=1，2，3，4），若i≠j，则Ai与Aj独立（i，j=1，2，3，4），根据新规：若连续两次投篮不中则停止投篮，阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：
①阿达共投篮两次，两次都不中，其概率为…（9分）
②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．其概率为…（11分）
③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即，又互斥．
故其概率为…（13分）
又①②③这三种情况两两互斥，故阿达投篮次数不超过4次的概率为（14分）
一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分．学生甲选对任一题的概率为0.8，则该生在这次测试中成绩的期望值是______，标准差是______．
正确答案
120
6
解析
解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B（50，0.8），η=3ξ，
则Eξ=50×0.8=40，Dξ=50×0.8×0.2=8，
故成绩的期望为Eη=E（，3ξ）=3Eξ=3×40=1201；
成绩的方差Dη=D（3ξ）=9Dξ=9×8=72，
则成绩的标准差为ση=
故答案为：120 6
一个骰子的6个面上分别标有1，2，3，4，5，6，现抛掷3个这样质地均匀的骰子．
（1）求抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数的概率？
（2）设X为3个骰子中点数为3的倍数个数，求X的分布列及数学期望E（X）．
正确答案
解：（1）抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数为事件A，
则A包括：三个点数中有3个数完全一致，2个数完全一致，没有重复数字三类，
即：（6，6，6），（3，3，3），
（1，1，3），（1，1，6），（2，2，3），（2，2，6），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，4），（3，3，5），
（3，3，6），（4，4，3），（4，4，6），（5，5，3），
（5，5，6），（6，6，1），（6，6，2），（6，6，3），
（6，6，4），（6，6，5），
（3，6，x），（3，x，x），（6，x，x），
共有2+18
∴P（A）=
（2）由题意得：X=0，1，2，3，
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列是：
∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1．
解析
解：（1）抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数为事件A，
则A包括：三个点数中有3个数完全一致，2个数完全一致，没有重复数字三类，
即：（6，6，6），（3，3，3），
（1，1，3），（1，1，6），（2，2，3），（2，2，6），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，4），（3，3，5），
（3，3，6），（4，4，3），（4，4，6），（5，5，3），
（5，5，6），（6，6，1），（6，6，2），（6，6，3），
（6，6，4），（6，6，5），
（3，6，x），（3，x，x），（6，x，x），
共有2+18
∴P（A）=
（2）由题意得：X=0，1，2，3，
∴P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列是：
∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1．
在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）设该考生所得分数为ξ，求ξ的数学期望．
正确答案
解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A，“有一道可判断一个选项是错
误的”选择对为事件B，“有一道因不理解题意”选择对为事件C，则
（Ⅰ）由题意可得：得50（分）即10道题都做对，所以其概率为
（Ⅱ）根据题意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，
所以
所以ξ的数学期望为：
解析
解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件A，“有一道可判断一个选项是错
误的”选择对为事件B，“有一道因不理解题意”选择对为事件C，则
（Ⅰ）由题意可得：得50（分）即10道题都做对，所以其概率为
（Ⅱ）根据题意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，
所以
所以ξ的数学期望为：
甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为
（1）求P．
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．
正确答案
解：（1）至少1人面试合格概率为
所以（1-P）3=
（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3
签约人数为0的概率：都不合格（1-
甲不合格，乙丙至少一人不合格
签约人数为0的概率：
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：
签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：
签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（
分布表：
数学期望：Eξ==1．
解析
解：（1）至少1人面试合格概率为
所以（1-P）3=
（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3
签约人数为0的概率：都不合格（1-
甲不合格，乙丙至少一人不合格
签约人数为0的概率：
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：
签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：
签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（
分布表：
数学期望：Eξ==1．
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，
第四组的频率是0.100×2=0.2，
第五组的频率是0.050×2=0.1．…（3分）
（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，
而第三组共有100×0.3=30个，
∴甲乙两产品同时被选中的概率为p=
②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（x=2）=
∴X的分布列为：
…（10分）
EX==．…（12分）
解析
（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，
第四组的频率是0.100×2=0.2，
第五组的频率是0.050×2=0.1．…（3分）
（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，
而第三组共有100×0.3=30个，
∴甲乙两产品同时被选中的概率为p=
②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（x=2）=
∴X的分布列为：
…（10分）
EX==．…（12分）
某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
（1）从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和EX．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A
P（A）=
（2）在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P（X=K）=
∴K的分布列是
∴EK=
解析
解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A
P（A）=
（2）在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P（X=K）=
∴K的分布列是
∴EK=
在由1，2，3，4，5组成可重复数字的三位数中任取一个数．
（Ⅰ）求取出的数各位数字互不相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数（例如：若这个数为212，则ξ=1）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数53，
满足条件的事件数A53，
记“取出的数各位数字互不相同”为事件B，
∴P（B）=
（Ⅱ） 随机变量ξ的取值为0，1，2．
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列是
所以ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数53，
满足条件的事件数A53，
记“取出的数各位数字互不相同”为事件B，
∴P（B）=
（Ⅱ） 随机变量ξ的取值为0，1，2．
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列是
所以ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．…（13分）
在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需N次．（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验．这样，这k个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的．
（Ⅰ）设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若p=0.1，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜．（取ln0.9=-0.105）
正确答案
解：（Ⅰ）k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为（1-p）k，呈阳性结果的概率为1-（1-p）k．
∴EX=k[1-（1-p）k]+1 …（6分）
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最适宜 …（12分）
解析
解：（Ⅰ）k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为（1-p）k，呈阳性结果的概率为1-（1-p）k．
∴EX=k[1-（1-p）k]+1 …（6分）
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9k+
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最适宜 …（12分）
某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（1）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（2）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（3）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设在第一次更换灯棍工作中不需要更换灯棍的概率为P1，
∴P1=0.83=0.512
（II）在第二次灯棍更换工作中，对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为（1-0.8）2；
在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为0.8（1-0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率为P=（1-0.8）2+0.8（1-0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为p=0.6
∴P（ξ=0）=C30p0（1-p）3=C300.43=0.064，
P（ξ=1）=C31p0（1-p）2=C310.6×0.42=0.288，
P（ξ=2）=C32p2（1-p）1=C320.62×0.41=0.432，
P（ξ=3）=C33p0（1-p）0=C330.63×0.40=0.216，
∴ξ的分布列为
此分布为二项分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．
解析
解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设在第一次更换灯棍工作中不需要更换灯棍的概率为P1，
∴P1=0.83=0.512
（II）在第二次灯棍更换工作中，对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为（1-0.8）2；
在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为0.8（1-0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率为P=（1-0.8）2+0.8（1-0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为p=0.6
∴P（ξ=0）=C30p0（1-p）3=C300.43=0.064，
P（ξ=1）=C31p0（1-p）2=C310.6×0.42=0.288，
P（ξ=2）=C32p2（1-p）1=C320.62×0.41=0.432，
P（ξ=3）=C33p0（1-p）0=C330.63×0.40=0.216，
∴ξ的分布列为
此分布为二项分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．
在盒子里有大小相同，仅颜色不同的小球共10个，其中白球5 个，红球3个，黄球2个．现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出黄球则不再取球．求：
（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；
（Ⅱ）若取到3次，正好取到2个红球的概率；
（Ⅲ）取球次数的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设取球次数为ξ1，则ξ1=1，2，
所以最多取两次的概率
（Ⅱ）由题意知可以如下取球：白红红、红白红、红红白、红红黄四种情况，
所以恰有两次取到红球的概率为
（Ⅲ）设取球次数为ξ，
则 
则分布列为：
取球次数的数学期望为．
解析
解：（Ⅰ）设取球次数为ξ1，则ξ1=1，2，
所以最多取两次的概率
（Ⅱ）由题意知可以如下取球：白红红、红白红、红红白、红红黄四种情况，
所以恰有两次取到红球的概率为
（Ⅲ）设取球次数为ξ，
则
则分布列为：
取球次数的数学期望为．
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