- 计数原理
- 共11505题
其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]
（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；
（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（1）由频率分布直方图，得；
10a=1-（
解得a=
∴成绩在[80，90）分的学生有36×
成绩在[90，100）分的学生有36×
成绩在[100，110）分的学生有36×
成绩在[110，120）分的学生有36×
记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，
包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，
事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；
∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
∴P（X=0）=
p（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为
数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．
解析
解：（1）由频率分布直方图，得；
10a=1-（
解得a=
∴成绩在[80，90）分的学生有36×
成绩在[90，100）分的学生有36×
成绩在[100，110）分的学生有36×
成绩在[110，120）分的学生有36×
记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，
包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，
事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；
∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
∴P（X=0）=
p（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为
数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．
设随机变量X的概率分布为P（X=k）=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：因为所有事件发生的概率之和为1，
即P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=1，
所以m（
所以m=
所以P（X=k）=
则
故选A．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关？
（2）将所抽样本中不小于60岁的广舞迷称为“超级广舞迷”，现从广舞迷中随机抽出2名市民，求其中超级广舞迷人数的分布列与期望．
附：K2=
正确答案
解：（1）由题意，广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人．
2×2列联表
k2=
∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关；
（2）广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超级广舞迷有0.005×10×100=5人
超级广舞迷人数ξ的所有可能取值为0，1，2，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．
解析
解：（1）由题意，广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人．
2×2列联表
k2=
∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关；
（2）广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超级广舞迷有0.005×10×100=5人
超级广舞迷人数ξ的所有可能取值为0，1，2，则
P（ξ=0）=
ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．
某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路．
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（2）求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望．
正确答案
解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，（5分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
（10分）
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
解析
解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，（5分）
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
（10分）
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（理科）设ξ是一个离散型随机变量．
（1）若ξ～B（n，p），且E（3ξ+2）=9.2，D（3ξ+2）=12.96，则n、p的值分别为______、______；
（2）若ξ的分布列如表，则Eξ=______．
正确答案
6
0.4
解析
解：（1）因为ξ～B（n，p），
所以Eξ=np，Dξ=np（1-p）…①
因为E（3ξ+2）=9.2，D（3ξ+2）=12.96，
所以E（3ξ+2）=3Eξ+2=9.2，D（3ξ+2）=9Dξ=12.96，
所以Eξ=2.4，Dξ=1.44…②
所以由①②解得：n=6，p=0.4．
（2）因为
所以a=
所以Eξ=-1×
故答案为：6；0.4；
用射击的方法引爆装有汽油的大汽油罐，已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功（可以是两次不连续的命中），每次射击命中率都是
（1）求油罐被引爆的概率．
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）设“油罐被引爆”为事件A，其对立事件为
∴
即油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
则P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
或P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
故ξ的分布列为：
故Eξ=
解析
解：（1）设“油罐被引爆”为事件A，其对立事件为
∴
即油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
则P（ξ=2）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
或P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
故ξ的分布列为：
故Eξ=
袋中有1--4号4个均匀的球，从中取出一个放回再取，设第一次所取球号数与第二次所取球号数商为X，求X的分布列．
正确答案
解：根据题意，从袋中取出一个放回再取一球，有
11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44共16种；
设第一次所取球号数与第二次所取球号数商为X，
则X的可能取值为
∴P（
P（
P（
P（
P（
P（1）=
P（
P（
P（2）=
P（3）=
P（4）=
∴X的分布列为
．
解析
解：根据题意，从袋中取出一个放回再取一球，有
11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44共16种；
设第一次所取球号数与第二次所取球号数商为X，
则X的可能取值为
∴P（
P（
P（
P（
P（
P（1）=
P（
P（
P（2）=
P（3）=
P（4）=
∴X的分布列为
．
某商场准备举行促销活动，对选出的某品牌商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品价格的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率为
正确答案
解：假设商场中奖奖金数额定为x元，则顾客在3次抽奖中所获得奖金总额是随机变量X，其所有可能 的取值为：0，x，2x，3x，X=0时表示顾客在一次抽奖中都没有获奖，所以P（X=0）=
同理可得：P（X=x）=
P（X=2x）=
P（X=3x）=（
所以随机变量X的分布列为
所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金的总额的期望值为E（X）=0×0.125+x×0.375+2x×0.375+3x×0.125=1.5x，
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金的期望值不大于商场的提价金额，因此应有1.5x≤180，解得x≤120，
所以商场 应该将中奖金额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利．
解析
解：假设商场中奖奖金数额定为x元，则顾客在3次抽奖中所获得奖金总额是随机变量X，其所有可能 的取值为：0，x，2x，3x，X=0时表示顾客在一次抽奖中都没有获奖，所以P（X=0）=
同理可得：P（X=x）=
P（X=2x）=
P（X=3x）=（
所以随机变量X的分布列为
所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金的总额的期望值为E（X）=0×0.125+x×0.375+2x×0.375+3x×0.125=1.5x，
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金的期望值不大于商场的提价金额，因此应有1.5x≤180，解得x≤120，
所以商场 应该将中奖金额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利．
（I）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（II）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
正确答案
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（II）由题意可得：随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=
由第（I）可得P（ξ=2）=
所以P（ξ=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（ξ）=0×+1×+2×=1．
解析
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=
（II）由题意可得：随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=
由第（I）可得P（ξ=2）=
所以P（ξ=1）=1-
从而随机变量X的分布列为
∴E（ξ）=0×+1×+2×=1．
设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，且随机变量ξ表示方程ax2+bx+1=0的实根的个数（相等的两根算一个根）．
（1）求方程ax2+bx+1=0无实根的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布列；
（3）求在先后两次出现的点数中有4的条件下，方程ax2+bx+1=0有实根的概率．
正确答案
解：基本事件总数为：6×6=36
（1）若方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程
（2）由题意知，ξ=0，1，2，
则
故ξ的分布列为
（3）记“先后两次出现的点数中有4”为事件M，
“方程ax2+bx+1=0有实根”为事件N，则
解析
解：基本事件总数为：6×6=36
（1）若方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程
（2）由题意知，ξ=0，1，2，
则
故ξ的分布列为
（3）记“先后两次出现的点数中有4”为事件M，
“方程ax2+bx+1=0有实根”为事件N，则
甲、乙两人进行摸球游戏，每次摸取一个球，一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，规则如下：若摸到红球，将此球放入袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放入袋中则由对方摸球．
（1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的概率；
（2）设随机变量ξ表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（1）设甲、乙两人摸到的球为红球分别为事件A，事件B，
前四次摸球中甲恰好摸到两次红球为事件C，
则
则
=
（2）ξ的所有取值分虽为0，1，2
∴ξ的分布列为
∴．
解析
解：（1）设甲、乙两人摸到的球为红球分别为事件A，事件B，
前四次摸球中甲恰好摸到两次红球为事件C，
则
则
=
（2）ξ的所有取值分虽为0，1，2
∴ξ的分布列为
∴．
甲乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
（Ⅰ）求随机变量X分布列
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．
正确答案
解：（1）由题意可得X～B（3，
其分布列如下：
∴Eξ==2．
（2）由A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，可知AB表示甲对赢得3场或2场．
∴P（AB）=+
=．
解析
解：（1）由题意可得X～B（3，
其分布列如下：
∴Eξ==2．
（2）由A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，可知AB表示甲对赢得3场或2场．
∴P（AB）=+
=．
已知从A地去B地有两条路可走，并且汽车走路①堵车的概率为
（Ⅰ）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由已知条件得
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）由已知条件得
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=
ξ的分布列为：
所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是
（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．
每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，
记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．
由题意，得
即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是
（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
∴
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望
解析
解：（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．
每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，
记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．
由题意，得
即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是
（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
∴
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望
一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；
（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ） 设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A，则
所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．…（6分）
所以随机变量X的分布列是
随机变量X的数学期望．…（14分）
解析
解：（Ⅰ） 设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A，则
所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．…（6分）
所以随机变量X的分布列是
随机变量X的数学期望．…（14分）
扫码查看完整答案与解析