圆的参数方程
共296题

· 圆的参数方程

圆的参数方程
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题型：填空题

填空题

圆C：（θ为参数）的普通方程为______，设O为坐标原点，点M（x0，y0）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为______．

正确答案

圆C：（θ为参数）利用sin2θ+cos2θ=1，

消去参数θ得它的普通方程为（x-1）2+y2=1；

∵点P（x，y）是线段OM的中点，

∴x0=2x，y0=2y，

又点M（x0，y0）在C上，

∴x0=1+cosθ，y0=sinθ，

∴2x=1+cosθ，2y=sinθ，

消去参数θ得

（2x-1）2+4y2=1

故答案为：（x-1）2+y2=1；（2x-1）2+4y2=1．

题型：填空题

填空题

圆C：（θ为参数）的半径为（），若圆C与直线x-y+m=0相切，则m=（）。

正确答案

；3或-1

题型：填空题

填空题

曲线（α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的直角坐标方程分别为（），（），两条曲线的交点个数为（）个。

正确答案

；；2

题型：简答题

简答题

（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q

满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．

（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：++≥2．

（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-)=2．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且•=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

正确答案

（1）（Ⅰ）解法一：f(x)=|x-2|+|x-4|=，可得函数的最小值为2．故m=2．

法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，

当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m=2．

（Ⅱ）证明：∵[()2+()2+()2]•(a2+b2+c2)≥(•a+•b+•c)2

∴(++)×2≥（n2+p2+q2）2=4，故++≥2．

（2）（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…1分

①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …2分

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…3分

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…4分

联立直线与曲线的方程，消y得+(x+4)2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．

又x1+x2=-，x1x2=，…6分

故•=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．

解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…7分．

题型：简答题

简答题

已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。

（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

（Ⅱ）求直线AM的参数方程。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为；

（Ⅱ）点M的直角坐标为，A（1，4）

故直线AM的参数方程为（t为参数）。

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