圆的参数方程
共296题

· 圆的参数方程

圆的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）．

（Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．

正确答案

解：（1）对于曲线C1：（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得（x+4）2+（y-3）2=1；表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆；

对于曲线 C2：（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得．表示焦点在x轴上的一个椭圆．

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，则点P的坐标为（-4，4），

设Q（6cosθ，2sinθ）为C2上的动点，则PQ中点M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．

直线C3：（t为参数）即 x+y+6=0．

∴点M到直线C3：x+y+6=0的距离为 d==≥3．

当sin（θ+）=-1时等号成立；所以d的最小值为3-1

解析

解：（1）对于曲线C1：（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得（x+4）2+（y-3）2=1；表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆；

对于曲线 C2：（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得．表示焦点在x轴上的一个椭圆．

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，则点P的坐标为（-4，4），

设Q（6cosθ，2sinθ）为C2上的动点，则PQ中点M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．

直线C3：（t为参数）即 x+y+6=0．

∴点M到直线C3：x+y+6=0的距离为 d==≥3．

当sin（θ+）=-1时等号成立；所以d的最小值为3-1

题型：单选题

单选题

已知x、y使方程x2+y2-2x-4y+4=0，则的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：由已知（x-1）2+（y-2）2=1

令x=1+cosθ，y=2+sinθ

则=

当时，最小值为：，

故选B．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2-x=0的参数方程为______．

正确答案

，θ∈R，且θ≠

解析

解：将圆方程化为（x-）2+y2=，可得半径r=，

∴OP=2r•cosθ=cosθ，

∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，

则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．

故答案为：，θ∈R，且θ≠

题型：填空题

填空题

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为a，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为，

即ρcosθ+ρsinθ=a，

∴曲线C1的直角坐标方程为x+y-a=0．

（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（-1≤y≤0），为半圆弧，

如图所示，曲线C1为一组平行于直线x+y=0的直线，

当直线C1与C2相切时，由=1，得，

舍去，则，

当直线C1过点A（0，-1）、B（-1，0）两点时，a=-1，

∴由图可知，当-1时，曲线C1与曲线C2有两

个公共点．

题型：填空题

填空题

若点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ∈R）上，则的取值范围是______．

正确答案

（-∞，-]∪[，+∞）

解析

解：∵曲线C的参数方程为（θ为参数），

∴其直角坐标方程为：x2+（y-2）2=1；

又=，其几何意义为：曲线C上的点P与坐标原点O的斜率，

令=k，则y=kx，

作图如下：

设点C到直线y=kx的距离为d，则d==，

∵点P（x，y）为x2+（y-2）2=1上的点，

∴≤1，

∴k2+1≥4，

解得k≥或k≤-，

∴的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．

故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．

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