导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．设函数（是实数，为自然对数的底数）

（1）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（2）若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值；

（3）若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围．

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11．曲线在点处的切线方程为___________。

正确答案

y=3x+1

解析

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知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．设，函数．

（1）若，求函数的极值与单调区间；

（2）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；

（3）若函数的图象与直线有三个公共点，求的取值范围．

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.曲线在点处的切线的斜率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

导数的几何意义导数的运算直线的倾斜角与斜率

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．设函数，（其中无理数，）

（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；

（Ⅱ）若在上不是单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数的图象在处的切线为，证明：函数的图象上不存在位于直线上方的点．

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

19．定义在上的函数同时满足以下条件：

① 在上是减函数，在上是增函数；

② 是偶函数；

③ 在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在，使，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

导数的几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

21．已知．

（I）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；

（II）在(Ⅰ)的条件下,求函数y=的图像在点处的切线方程；

（III）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

解: （I）由题意的解集是

即的两根分别是.

将或代入方程得.

.

（II）由(Ⅰ)知：，，

点处的切线斜率，

函数y=的图像在点处的切线方程为：

，即.

（III），

即：对上恒成立

可得对上恒成立

设, 则

令,得(舍)

当时,;当时,

当时,取得最大值, =-2 .

的取值范围是.

解析

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．已知函数,过点P（1,0）作曲线的两条切线PM,PN,切点分别为M,N 。

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）设|MN|=，试求函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值。

正确答案

解析

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知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义利用导数研究函数的单调性数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

3．设直线是曲线上的一条切线，则切线斜率最小时对应的倾斜角为（）

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

3．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为__________。

正确答案

（1，0）

解析

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知识点

导数的几何意义两条直线平行与倾斜角、斜率的关系

1

题型：简答题

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简答题 · 5 分

16.已知曲线x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+ (a+2)x+l相切，则a= .

正确答案

8

解析

y=x+lnx的导数为y′=1+1/x，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x-1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2-8a=0，解得a=8．故答案为：8．

考查方向

曲线的切线方程，导数的几何意义

解题思路

先求出曲线在切点处的切线方程，然后联立成方程组，化成一元二次方程，利用根的判别式求解。

易错点

导数的几何意义理解的不透彻，不会求切点。

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率是

A0

B－1

C1

D

正确答案

C

解析

f’(x)=cosx-xsinx,得k=f’（0）=1。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

直接求导，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误。

知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数

（Ⅰ）求值，并求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，．

正确答案

（Ⅰ），在单调递减，在单调递增

（Ⅱ）略

解析

（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；……（6分）

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时，．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时，．

考查方向

本题主要考查函数的导数与切线间的关系，利用导数判断函数的单调性，以及构造函数解决不等式问题，难度较大，属高考重要考点。函数与导数的问题常常考察切线问题、函数的单调性、求参数的取值范围以及构造函数解决函数不等式问题。

解题思路

第一问直接求导得到在x=0时斜率为-1得到一个方程，函数图像过点（0，-1）得到第二个方程，解出a,b;

第二问直接变形后作商得到，然后对左边函数进行求导即得

易错点

在第二问采用作差来比较大小，求导后得到的函数无法求出零点，不能联系第一问求二阶导数，导致无法计算。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11.函数处的切线与直线垂直，则a的值为______.

正确答案

0

解析

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义/导数的几何意义是高频考点，主要涉及求切线方程、求参数。

解题思路

易错点

易求错函数的导函数。

知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）

正确答案

解析

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点。

解：因为,设点P（x0,y0）（x0>0）,则切线的斜率,当切线与y=x-2平行时，点P到直线距离最小，所以，解得x0=1或（舍去）。当时，y0=1,所以点P（1,1）,直线方程化为x-y-2=0,所以距离d=。

考查方向

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点，难度中等，是高考热点之一，考查学生分析问题与转化问题的能力。

易错点

本题必须注意把点线之间的距离转化为两条平行线之间的距离，否则会导致无法求出．

知识点

导数的几何意义两条平行直线间的距离

热门试卷

正确答案

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知识点

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知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

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考查方向

易错点

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