直线、圆及圆锥曲线的交汇问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

解析

设双曲线的离心率为e，在三角化简并整理得，

考查方向

考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率

解题思路

先由题意及双曲线的定义，可得，再利用焦半径公式，，由余弦定可求得a,b,c的等式关系，再从中求离心率

易错点

利用焦半径公式易出错，寻找a,b,c关系时找不到突破口

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

24.求C1，C2的方程

25.求证：MA⊥MB；

26. 记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C1的方程：＋y2＝1；C2的方程：y＝x2－1

解析

由题意，知＝，所以a2＝2b2. ……1分

又2＝2b，得b＝1. ……2分

所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1. ……3分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

根据题意直接列出a,b,c方程, 可求出两条曲线的方程

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

证明　设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．

则⇒x2－kx－1＝0， ……4分

则x1·x2＝－1，x1＋x2＝k，

＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，

所以MA⊥MB. ……7分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设直线方程、交点坐标. 通过向量的数量积等于零, 证明两条线互相垂直

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

[，＋∞)

解析

解:　设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，……8分

由25题知k1k2＝－1，M(0，－1)，

由解得或 ……9分

所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．……10分

故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.

由解得或

所以D(，)．同理，可得E(，)．……11分

故S2＝|MD|·|ME|＝·，

＝λ＝＝≥，……13分

则λ的取值范围是[，＋∞)．……14分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设MA,MB的方程，通过与抛物线，椭圆联立方程组，解出A,B,D,E的坐标，然后分别用表示面积，把表示成关于的关系式，最后用均值不等式求解λ的取值范围．

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

23.求的方程；

24.若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）抛物线的方程为；

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）直线的方程为，即

圆的方程为

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得是等边三角形，则椭圆的离心率_____.

正确答案

解析

根据椭圆参数方程设出B点坐标（acost,bsint）,由为正三角形知

从而得出点P （-asint,bcost）,

又得，而tant= 整理得，所以可算得e.=

考查方向

本题主要考查了椭圆方程及性质，考查考生数形结合思想和运算求解能力。

解题思路

根据椭圆参数方程设出B点坐标（acost,bsint）,由为正三角形知从而得出点P（-asint,bcost）,又得，而tant= 整理得，所以可算得e.

易错点

为等边三角形的处理不灵活导致运算量大

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．过双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线相交于A,B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质，考查考生的作图及应用知识的能力。

解题思路

根据题意求出A,B两点的坐标，由△OAB的面积为得出

故A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

对△OAB的面积的转化较繁琐而出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知曲线C的方程是（m＞0，n＞0）,且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点．

23.求曲线C的方程；

24.设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题可得：解得

所以曲线方程为.

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据OM⊥ON，得到x1，x2的关系

4）解出含参直线方程，得出定点

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对OM⊥ON处理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）由题得：

原点到直线的距离

由得：

所以

=分

所以直线恒与定圆相切。

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据OM⊥ON，得到x1，x2的关系

4）解出含参直线方程，得出定点

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对OM⊥ON处理出错

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 如图：A,B,C是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为，且椭圆过点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

1）点到直线的距离公式得到a,b的关系，根据点在椭圆上联立求出椭圆方程

2）设点p，根据要求求出直线AP，与直线BC求出点D

3）根据直线CP得到点E

4）使用两点间斜率公式得到DE斜率，化简得到结论

易错点

本题主要有以下几个错误：

1）椭圆方程求错

2）找不到有效突破点，导致运算量加大，无法得出理想结果

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

考查抛物线的性质，抛物线的焦半径公式

解题思路

根据题意, 直接用焦半径表示AF与BF的长度.

易错点

忽略直线过焦点，导致AF与BF的长度无法用3表示, 忽略焦点的位置，容易把焦半径公式写成

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知直线l：y=kx+t号圆：x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____．

正确答案

解析

因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．

考查方向

本题主要考查了直线与圆和抛物线的位置关系，考查考生分析问题和解决问题的能力。

解题思路

先利用直线与圆相切找到k与t之间的关系，再通过直线与抛物线有两个不同的交点求出t的取值范围。

易错点

直线中有两个变量，如何把k转化或者求出。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知Q为椭圆C： (a>b>0)的上顶点，P是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．

23.求椭圆C的方程：

24.若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A，B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）因为，，，，，

由题设可知，则 ①

又点在椭圆上，∴，解得，所以　　　②

①②联立解得，，，

故所求椭圆的方程为．

考查方向

本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的相交问题，考查考生的运算能力。

解题思路

（1）通过列式求解（2）利用线段OM的中点与线段AB的中点重合转化出再代入椭圆方程，用k来表示出

易错点

线段OM的中点与线段AB的中点重合的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）设三点的坐标分别为，，，

由两点在椭圆上，则，则

由（1）－（2），得　　（3）．

由线段的中点与线段的中点重合，则．

又，即　　　（6）

把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，

于是由，得，，

所以．

因为，所以，有，

所以，即的取值范围为．

考查方向

本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的相交问题，考查考生的运算能力。

解题思路

（1）通过列式求解（2）利用线段OM的中点与线段AB的中点重合转化出再代入椭圆方程，用k来表示出

易错点

线段OM的中点与线段AB的中点重合的转化

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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解题思路

易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向