直线、圆及圆锥曲线的交汇问题_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于

两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（）.

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知条件画出简图，由图可知，所以，又因为在椭圆中，所以，即，，所以，即，解得，所以，应选C。

考查方向

本题主要考查椭圆的简单几何性质以及离心率的问题.

解题思路

1.根据已知条件画出草图；2.由椭圆的性质得到不等关系；3.求离心率的范围。

易错点

本题易在不会由平面几何的知识得到等量关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

23.求动点的轨迹的方程；

24.已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

设代入已知可得，轨迹C的轨迹方程为．

考查方向

本题主要考查求轨迹方程，抛物线的标准准方程，圆与圆锥曲线的关系。

解题思路

第一问利用向量数量积的坐标运算直接求出抛物线的方程；

易错点

求不出。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，则

圆的方程为．

令，则．

不妨设，．

①时，；

②时，当且仅当时等号成立．

综上，的最大值为．

考查方向

本题主要考查求轨迹方程，抛物线的标准准方程，圆与圆锥曲线的关系。

解题思路

第二问首先设出点的坐标，表示出圆的方程，求出两点坐标，表示出，用基本不等式求出最值。

易错点

求不出。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则

的最小值是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意知，，设，由抛物线的定义知，，所以，当时，，因为，所以，当x=0时，，综上所述，的最小值是，故选C选项。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的定义、基本不等式求最值等知识，意在考查考生的转化能力和构建函数的意识。

解题思路

1.先根据题意构造函数，2.利用基本不等式求函数的最值。

易错点

1.不会构建函数；2.不会求的最值。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知分别为双曲线的两条渐近线，且右焦点关于的对称点在上，则双曲线的离心率为 .

正确答案

2

解析

由题意得的方程分别为，右焦点的坐标为（c,0）,设右焦点关于的对称点的坐标为（m,n）,则，解得，又（m,n）在上，所以，化简得，所以，得离心率为2.

考查方向

本题主要考查双曲线的几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据题意先表示出的方程分别为，右焦点的坐标为（c,0），设出对称点的坐标为（m,n）求出；2.将点（m,n）带入得到a,b之间的关系即可求出离心率。

易错点

1.点（m,n）的坐标求错；2.不会建立关于a,b,c之间的关系。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作

圆交双曲线的渐近线于两点，（异于原点），若，则双曲线的离

心率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意作图

考查方向

本题考察了双曲线的几何性质，考察了圆的几何性质，考察了向量的平行四边形法则，考察了数量积运算，属于中档题

解题思路

1、根据题意画出简图

2、找到向量的性质直接得出a，b的关系

易错点

主要易错于圆的性质的判断，以及向量的几何意义的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若点M是以椭圆的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为，则△的周长是 ▲

正确答案

解析

设直线的方程为，由化简得

设，则

所以

，同理，所以，

所以周长为,，因此周长为6。

考查方向

本题主要考查椭圆的简单几何性质。

解题思路

1）设出的直线方程，与椭圆联立；

2）由弦长公式以及两点间距离公式求出边长，再求周长；

易错点

本题联立直线和椭圆的方程，容易在化简时出现错误；

知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知点F(0,1)为抛物线的焦点。

24.求抛物线C的方程；

25.点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由题意知

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）令，不妨设直线AB与轴交于点

又因为

从而

令

当时点三点中有两个点重合，所以舍去

当

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，解得，所以切点的横坐标为，带入切线方程得到切点坐标为，代入曲线方程得，所以，因为，所以，所以，所以应选A.

考查方向

本题主要考查导函数的几何意义，以及最值问题.

解题思路

1.根据导数的几何意义求出的关系；2.将用代换，求最值。

易错点

本题易在根据导函数的几何意义得到的关系上出现错误，求最值时找不到方法。

知识点

导数的几何意义直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

24.求点的“特征直线”的方程；

25.已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

26.已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出，进而得到点（a,b）满足的方程；

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

得

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

所以，进而

① 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性，后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.

23.求曲线的方程；

24.过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故,

所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，则，

所以，故曲线的方程为

考查方向

本题主要考查定义法求轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据椭圆的定义得到后利用椭圆的定义求解即可；

易错点

找不到导致运算很复杂；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，由得：.∴，∴，由题意知，，

所以，

所以直线的方程为，令，得，即.

可得.

所以，即

考查方向

本题主要考查定义法求轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后联立消元导出韦达定理后求出，

和即可得到答案。

易错点

不知该如何入手，运算复杂出错。

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向