直线、圆及圆锥曲线的交汇问题_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

12.过抛物线：的焦点作直线交抛物线于两点，若，则抛物线的顶点到直线的距离为 ▲ ．

正确答案

解析

设为直线的倾斜角，不妨设直线AB的位置如图，由抛物线方程可知，p=4,|AF|= ，所以= 所以sin= ,在三角形OHF中，|OH|=|OF|sin=2= .

考查方向

抛物线的焦半径公式，直线与抛物线的位置关系，数形结合的解题方法，技巧

解题思路

先通过焦半径, 算出直线AB的倾斜角, 再利用数形结合的方法, 计算顶点到直线AB的距离

易错点

忽略AB是焦点弦, 找不到恰当的解题方法

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点为，点A在C上，若，则。

正确答案

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义和解三角形,属于中档难度的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

本题主要考查了双曲线的定义和解三角形，解题步骤如下：

易错点

本题易在运算上出问题。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

26.若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

27.若斜率为的直线与的图像交于、两点，点为线段的中点，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

() 2分

因为函数在上为单调增函数，所以在恒成立

解得；

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

直接求导，在恒成立即可解a.

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

设点，，不妨设，则．

要证，即

即证．只需证, 即证．只需证．设．由(1)令知在上是单调增函数，又，所以．即，

即．所以不等式成立.

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

设出交点坐标，用分析法证明，要证，即，只需证．引入函数，，利用导数求解。

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知双曲线的左右焦点分别为，，若上存在点使为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为是等腰三角形，且顶角为，，

由平面几何知识得，，根据双曲线的定义得，由双曲线的离心率得

，两边平方，得，故选D.

考查方向

本题主要考查了双曲线的几何性质、定义以及简单的平面几何知识，是圆锥曲线中很重要的考察对象，是高频考点。

解题思路

先画等腰三角形，利用平面几何知识以及双曲线的定义表示出离心率，即可解决问题。

易错点

不会画等腰三角形或不会用双曲线的定义解决问题。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆离心率为，点在短轴CD上，

且　.

23.求椭圆E的方程；

24.过点P的直线与椭圆E交于A,B两点.

（i）若，求直线的方程；

（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程。直线与椭圆的位置关系。解析几何存在性问题

解题思路

由题意，根据数量积求得方程中的待定的a,b.(2).按照解析几何的常规思路求解，

先讨论直线方程的斜率问题，然后联系方程组，求方程的再向已经条件转化；

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，再就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算，代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1）当直线不存在斜率时，|PB|=, |AP|=, ，不符合题意，

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程。直线与椭圆的位置关系。解析几何存在性问题

解题思路

也是要讨论直线方程的斜率两种情况，假设存在，Q，使得恒成立，将数量关系转成坐标，进而转化成题中所设的直线方程的斜率K上,注意问题的充要性证明。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，再就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算，代数整理上的错误。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.设双曲线C：的右焦点为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（点在第一象限内），若直线平行于另一条渐近线，则该双曲线离心率的值为

A

B

C

D3

正确答案

A

解析

如图，过P作PH垂直x轴，根据PF平行渐近线，所以三角形POF为等腰三角形，OH= ,OP=a, PH=在直角三角形OPH中，tan∠POH= ，化简整理得4,即4，所以e=

考查方向

考查双曲线的定义，渐近线，离心率

解题思路

画出双曲线的简图，结合双曲线渐近线的特点，得出a，b，c的数量关系，进而求出离心率

易错点

数形结合及数据推导容易出错

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为.

22.求椭圆的方程；

23. 若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由已知可得, ,

所求椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系,解析几何直线过定点问题

解题思路

列出a,b,c方程, 直接求椭圆的标准方程

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，其次就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的关系时，易出现转化、计算、代数整理的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线过定点.

解析

解：设切线方程为，则，即，

设两切线的斜率为，则是上述方程的两根，所以

；

由得：，所以，

同理可得：，

所以，于是直线方程为

，令，得

，

故直线过定点. ----------------------------15分

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系,解析几何直线过定点问题

解题思路

首先根据直线与圆相切得出，再根据直线和椭圆相交，联立方程组，求出B,D的坐标及BD的斜率, 写出BD的方程,得出BD过定点。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，其次就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的关系时，易出现转化、计算、代数整理的错误。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（）

A

B8

C

D16

正确答案

B

解析

如图，由结合直线斜率为知，在中，由抛物线的定义知，所以为等边三角形，在中，由，即，所以答案应为B选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义和几何关系,属于比较灵活的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

1、由直线斜率为知；2、在中，由抛物线的定义知，所以为等边三角形；3、在中解出的值。

易错点

本题难在定义的应用和几何关系的寻找。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆:的一个焦点为,而且过点.

求椭圆的方程；

设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于

的任一点,直线分别交轴于点,若直线

与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长

为定值,并求出该定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由方程思想求解出标准方程；

解法一:由题意得,,解得，所以椭圆的方程为. 解法二:椭圆的两个焦点分别为,由椭圆的定义可得,所以,, 所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了求椭圆的方程和定值的证明问题，属于高考的热点问题，圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

解题思路

本题考查圆锥曲线中求标准方程的方法和定值问题，解题步骤如下：由方程思想求解出标准方程；

易错点

无法理顺题设的关系导致解题受阻。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，根据题设求出与半径的长，再由垂径定理求出。解法一:由(1)可知,设,直线:,令,得;直线:,令,得; …（6分）设圆的圆心为,则,

而,所以,所以,

所以,即线段的长度为定值.

解法二:由（Ⅰ）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;则,而,所以,

所以,由切割线定理得所以,即线段的长度为定值

考查方向

本题考查了求椭圆的方程和定值的证明问题，属于高考的热点问题，圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

解题思路

本题考查圆锥曲线中求标准方程的方法和定值问题，解题步骤如下：构建的求解方法——垂径定理。

易错点

无法理顺题设的关系导致解题受阻。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.

24.求直线与的斜率之积；

25.过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点.证明：以为直径的圆恒过点.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线与的斜率之积为；

解析

由题可得. 设点.

则有，即

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，同时也考查考生推理运算求解能力、等价转化思想，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：由椭圆的方程，可得到A ，B两点的坐标，设出点P(x，y)，即可表示出直线与的斜率，将其代入椭圆方程，容易得出结论；

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设，，与轴不重合， ∴设直线.由得

由题意,可知成立，且

将（*）代入上式，化简得

∴，即以为直径的圆恒过点．

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，同时也考查考生推理运算求解能力、等价转化思想，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：要证明以为直径的圆恒过点，只需证明即可.由于直线过点，由题可设直线l的方程，即代入到椭圆方程消去x，即可得到关于y的一元二次方程，再利用根与系数之间的关系，化简,，最后得0，即可证明结论。

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

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