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题型:简答题
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简答题 · 16 分

21.已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于两点,若点在以线段为直径的圆的外部,求的取值范围。

正确答案

(1)轴、轴交点为

椭圆方程为:

(2)设直线的方程为:

可得:

可得:

化简得:

可得:

取值范围为

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

19.已知椭圆过点,且点轴上的射影恰为椭圆的一个焦点

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于两点.试问:四边形能否为平行四边形?若能,求出直线的方程;否则说明理由。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

20. 已知左焦点为的椭圆过点.过点分别作斜率为的椭圆的动弦,设分别为线段的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若为线段的中点,求

(3)若,求证直线恒过定点,并求出定点坐标.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

19.已知椭圆过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2。且

(1)求椭圆E的方程;

(2)若M,N是直线上的两个动点,且,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

19. 已知双曲线的方程为,椭圆长轴的两个端点恰好为双曲线的两个焦点。

(Ⅰ)如果椭圆的两个焦点又是双曲线的两个顶点,求椭圆的方程;

(Ⅱ)如果椭圆的方程为,且椭圆上存在两点A,B关于直线对称,求取值范围。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

16.已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.

(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状,并写出其方程.

(Ⅱ)是否存在过的直线,使得直线被截得的弦恰好被点所平分?

正确答案

(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离,

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线,其方程为.           

(Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得

①当直线的斜率不存在时,不合题意.  

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为

联立方程组

消去,得,(*)

,解得.   

此时,方程(*)为,其判别式大于零,

∴存在满足题设的直线          

且直线的方程为:.    

解法二:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得.

易判断直线不可能垂直轴, 

∴设直线的方程为

联立方程组

消去,得

,

∴直线与轨迹必相交. 

,∴.    

∴存在满足题设的直线          

且直线的方程为:.   

解法三:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得.  

在轨迹上,

∴有,将,得

时,弦的中点不是,不合题意,  

,即直线的斜率,  

注意到点在曲线的张口内(或:经检验,直线与轨迹相交)

∴存在满足题设的直线    

且直线的方程为:.  

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知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为

(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;

(2)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点

①当为“准圆”与轴正半轴的交点时,求的方程;

②求证:为定值

正确答案

(1)

所以,椭圆方程:

准圆方程:

(2)①易知且直线斜率存在,

设直线为

联立

因为椭圆与直线有且只有一个交点,

所以,因此

所以的方程为

②<ⅰ>当的斜率存在时,设点

设直线

---(*)

同理,联立和椭圆方程可得:---(**)

由(*)(**)可知,是方程的两个根

因此是准圆的直径,所以

<ⅱ>当中有一条斜率不存在时,,此时

所以

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知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

21.如图,圆轴的正半轴交于点是圆上的动点,点在轴上的投影是,点满足

(1)求动点的轨迹的方程,并说明轨迹是什么图形;

(2)过点的直线点的轨迹交于不同的两点,若,求直线的方程

正确答案

(1)设

则由题意得轴且M是DP的中点,

所以                   

又P在圆上,所以,即

,即

轨迹是以为焦点,

长轴长为4的椭圆。     

(2)方法一:当直线的斜率不存在时,

,不满足题意。    

设直线方程为

代入椭圆方程得:

   

   (*)

知E是BF中点,

所以    (**)

由(*)、(**)

解得满足

所以

即所求直线方程为:      

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后,能得到某一个函数的图象,则旋转角可以是(           )

A

B

C

D

正确答案

C

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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