- 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
- 共263题
21.已知圆经过椭圆
的右焦点
及上顶点
。
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆外一点倾斜角为
的直线
交椭圆于
.
两点,若点
在以线段
为直径的圆
的外部,求
的取值范围。
正确答案
(1)与
轴、
轴交点为
和
,
,
椭圆方程为:
(2)设直线的方程为:
(
)
可得:
可得:即
设,
,
则,
化简得:
可得:,
取值范围为
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19.已知椭圆过点
,且点
在
轴上的射影恰为椭圆的一个焦点
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于
两点.试问:四边形
能否为平行四边形?若能,求出直线
的方程;否则说明理由。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20. 已知左焦点为的椭圆过点
.过点
分别作斜率为
的椭圆的动弦
,设
分别为线段
的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为线段
的中点,求
;
(3)若,求证直线
恒过定点,并求出定点坐标.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19.已知椭圆过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2。且
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线上的两个动点,且
,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19. 已知双曲线的方程为
,椭圆
长轴的两个端点恰好为双曲线
的两个焦点。
(Ⅰ)如果椭圆的两个焦点又是双曲线的两个顶点,求椭圆
的方程;
(Ⅱ)如果椭圆的方程为
,且椭圆
上存在两点A,B关于直线
对称,求
取值范围。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
16.已知点,直线
,动点
到点
的距离等于它到直线
的距离.
(Ⅰ)试判断点的轨迹
的形状,并写出其方程.
(Ⅱ)是否存在过的直线
,使得直线
被截得的弦
恰好被点
所平分?
正确答案
(Ⅰ)因点到点
的距离等于它到直线
的距离,
所以点的轨迹
是以
为焦点、直线
为准线的抛物线,其方程为
.
(Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线.设直线
与轨迹
交于
,
依题意,得.
①当直线的斜率不存在时,不合题意.
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
联立方程组,
消去,得
,(*)
∴,解得
.
此时,方程(*)为,其判别式大于零,
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:
即
.
解法二:假设存在满足题设的直线.设直线
与轨迹
交于
,
依题意,得.
易判断直线不可能垂直
轴,
∴设直线的方程为
,
联立方程组,
消去,得
,
∵,
∴直线与轨迹必相交.
又,∴
.
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:
即
.
解法三:假设存在满足题设的直线.设直线
与轨迹
交于
,
依题意,得.
∵在轨迹
上,
∴有,将
,得
.
当时,弦
的中点不是
,不合题意,
∴,即直线
的斜率
,
注意到点在曲线
的张口内(或:经检验,直线
与轨迹
相交)
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:
即
.
解析
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知识点
23.给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”。若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的一个动点,过点
作直线
,使得
与椭圆
都只有一个交点,且
分别交其“准圆”于点
①当为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求
的方程;
②求证:为定值
正确答案
(1)
所以,椭圆方程:,
准圆方程:
(2)①易知且直线斜率存在,
设直线为
联立
因为椭圆与直线有且只有一个交点,
所以,因此
所以的方程为
②<ⅰ>当的斜率存在时,设点
,
设直线
由---(*)
同理,联立和椭圆方程可得:
---(**)
由(*)(**)可知,是方程
的两个根
,
因此是准圆的直径,所以
<ⅱ>当中有一条斜率不存在时,
,此时
所以
解析
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知识点
21.如图,圆与
轴的正半轴交于点
,
是圆上的动点,
点在
轴上的投影是
,点
满足
(1)求动点的轨迹
的方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)过点的直线
与
点的轨迹
交于不同的两点
、
,若
,求直线
的方程
正确答案
(1)设,
则由题意得轴且M是DP的中点,
所以
又P在圆上,所以
,即
,即
轨迹是以与
为焦点,
长轴长为4的椭圆。
(2)方法一:当直线的斜率不存在时,
,不满足题意。
设直线方程为
,
代入椭圆方程得:
△
设,
则 (*)
由知E是BF中点,
所以 (**)
由(*)、(**)
解得满足
,
所以
即所求直线方程为:
解析
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知识点
10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转
就得到函数
的图象.若把双曲线
绕原点按逆时针方向旋转一定角度
后,能得到某一个函数的图象,则旋转角
可以是( )
正确答案
解析
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知识点
21.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
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知识点
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