- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项的和S6为（ ）
正确答案
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a2+a4=4，a3+a5=10，
∴
解得
∴S6=
故选A．
数列-1，
Aan=（-1）n•
Ban=（-1）n•
Can=（-1）n•
Dan=（-1）n•
正确答案
解析
解：由数列-1，
可知：奇数项的符号为“-”，偶数项的符号为“+”，
其分母为奇数2n-1，分子为n2．
∴此数列的一个通项公式
故选：A．
数列1，a，a2…an-1…的前n项和是______．
正确答案
Sn=
解析
解：当a=0时，Sn=1；
当a=1时，Sn=n；
当a≠0，1时，Sn=
综上可得：Sn=
故答案为：Sn=
观察数列；-4，0，4，1，-4，0，4，1，-4，0，4，1…，则a2014=（ ）
正确答案
解析
解：由数列的规律可得数列的周期为4，
∴a2014=a2=0
故选：B
数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是______．
正确答案
45
解析
解：因为1+2+3+…+n=n（n+1）/2，由n（n+1）/2≤1000得 n的最大值为44，即最后一个44是数列的第990项，而45共有45项，所以，第1000项应为45，
故答案为45．
已知数列{an}中，a1=2，an=-
正确答案
2
解析
解：∵a1=2，an=-
∴
…，
∴an+2=an，
∴a2013=2．
故答案为：2．
数列
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵数列
∴数列的一个通项公式是
∴
故选A．
使数列{an}的前五项依次是1，2，4，7，11的一个通项公式是an=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：a2-a1=2-1=1，
a3-a1=4-2=2，
a4-a3=7-4=3，
a5-a4=11-7=4，
…，
∴an-a1=1+2+3+…+（n-1）=
∴an=
故选：A．
对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（I）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．
（1）求数列{an}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{an}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．
正确答案
解：（I）因为an=2n，则有an+1=an+2，n∈N*
故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为bn=3•2n，则有bn+1=2bnn∈N*
故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为an+an+1=3t•2n（n∈N*）
则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•24，a2006+a2007=3t•22006，a2008+a2009=3t•22008．
故数列{an}前2009项的和S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a5）++（a2006+a2007）+（a2008+a2009）+（a2008+a2009）=2+3t•22+3t•24++3t•22006+3t•22008=2+t（22010-4）
故答案为2+t（22010-4）
（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而an+an+1=3t•2n（n∈N*），且an+1+an+2=3t•2n+1（n∈N*）
则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，an+1=-an，an=2（-1）n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或-1，0．
解析
解：（I）因为an=2n，则有an+1=an+2，n∈N*
故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为bn=3•2n，则有bn+1=2bnn∈N*
故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为an+an+1=3t•2n（n∈N*）
则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•24，a2006+a2007=3t•22006，a2008+a2009=3t•22008．
故数列{an}前2009项的和S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a5）++（a2006+a2007）+（a2008+a2009）+（a2008+a2009）=2+3t•22+3t•24++3t•22006+3t•22008=2+t（22010-4）
故答案为2+t（22010-4）
（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而an+an+1=3t•2n（n∈N*），且an+1+an+2=3t•2n+1（n∈N*）
则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，an+1=-an，an=2（-1）n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或-1，0．
将所有3的幂，或者是若干个不相等的3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的第100项为______．
正确答案
981
解析
解：前6个3的幂1、3、9、27、81、243
可以组成26-1=63个不同的符合要求的数，第64项为37=729
第65项开始，在729的基础上加1、3、9、27、81中的某些，有C（5）1C51+C52+…+C55=31个
第96项为729+243，接下来是729+243+1、729+243+3、729+243+1+3
所以第100项为729+243+9=981．
故答案为：981
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