- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
正整数按下表排列：
位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{an}，则a7=______；通项公式an=______．
正确答案
43
n2-n+1
解析
解：∵a2-a1=2，
a3-a2=4，
a4-a3=6
…
an-an-1=2（n-1）
把上式叠加得到：
an=2+4+6+…+2（n-1）+a1=n2-n+1，
把n=7代入可得a7=43
故答案为：43，n2-n+1．
已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2（Sn+1）=n+1，则an=______．
正确答案
解析
解：∵log2（Sn+1）=n+1，∴
即
当n=1时，a1=S1=22-1=3．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-（2n-1）=2n．
综上可得an=
故答案为：
已知数列{an}中，
正确答案
12、13
解析
解：∵
∵
又由n∈N+，
故数列{an}的最大项可能为第12项或第13项
又∵当n=12时，
又∵当n=13时，
故第12项或第13项均为最大项，
故答案为：12、13．
正确答案
（-3，-2）
解析
解：
n=1时也可能是最大项，满足n+k＜1，所以k＞-3，
综上-3＜k＜-2．
故答案为：（-3，-2）．
已知数列{an}是递增数列，且an=
正确答案
解析
解：∵数列{an}是递增数列，
∴an+1＞an．
∴
化为t2-2t-8＜0，t＞-n．
解得-2＜t＜4，t＞-1．
∴-1＜t＜4．
故选：D．
数列{an}的通项公式
正确答案
解析
解：∵
设（
分析可得t=1时，即当n=1时，an取得最大值，
t=
∴x=1，y=2，x+y=3
故选A
已知数列{an}满足a1=t，t为正整数，且an+1-an+2=0（n∈N*），记数列{an}的前n项之和的最大值为函数f（t），则f（t）=______．
正确答案
解析
解：∵an+1-an+2=0（n∈N*），即an+1-an=-2，
∴数列{an}是等差数列，首项为t为正整数，公差为-2．
∴an=t-2（n-1）=-2n+2+t．
Sn=
由an≥0，解得
当t为偶数时，n=
当t为奇数时，n=
故答案为：
给定正数a，b，且a＜b，设An=
（1）比较A1，A2，A3的大小；
（2）由（1）猜想数列{An}的单调性，并给出证明．
正确答案
解：（1）∵An=
∴A1=
A2=
A3=
又a＜b，
∴A1-A2=
同理可得，A2-A3=
∴A1＜A2＜A3；
（2）由（1）可猜想数列{An}为单调递增数列．
∵An+1-An=
∴An+1＞An，
即数列{An}为单调递增数列．
解析
解：（1）∵An=
∴A1=
A2=
A3=
又a＜b，
∴A1-A2=
同理可得，A2-A3=
∴A1＜A2＜A3；
（2）由（1）可猜想数列{An}为单调递增数列．
∵An+1-An=
∴An+1＞An，
即数列{An}为单调递增数列．
已知数列的通项公式为an=（-1）n
A-
B-
C
D
正确答案
解析
解：因为数列的通项公式为an=（-1）n
所以 
故选B．
对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量的集合Y={
A
B
Cxi=1+（i-1）q，i=1，2，…，n
D
正确答案
解析
解：解法一：猜想：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n
记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n
先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．
任取
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
∵Ak+1具有性质P，∴有
不妨设s1=-1，
假设t1∈Ak+1，且t1∉Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（-1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．
∴t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．
再用数学归纳法，证明xi=qi-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若Ak+1═{-1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，
∴Ak+1═{-1，q，q2，…，qk-1，xk+1}．
取
若t=-1，则xk+1=
∴s=-1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1≥qk-1，
因此xk+1=qk．
综上所述，xi=qi-1，i=1，2，3，…，n．
解法二：设
记B={
注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．
由于
对以下三角形数阵：
…
注意到
从而数列的通项公式是xk=x1•（
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