- 数列的概念与简单表示法
- 共4462题
已知an=
正确答案
解析
解：an=
442=1936，452=2025，
当n≤44时，an＜1，且此时数列{an}单调递减；
当45≤n≤100时，an＞1，且此时数列{an}单调递减．
因此则此数列中最小项和最大项分别为第44，45项．
故选：C．
已知 a1=3，a2=6，且 an+2=an+1-an，则a2009=______．
正确答案
-6
解析
解：由条件an+2=an+1-an可得：an+6=an+5-an+4
=（an+4-an+3）-an+4=-an+3=-（an+2-an+1）
=-[（an+1-an）-an+1]=an，
于是可知数列{an}的周期为6，
∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，
∴a3=a2-a1=3，a4=a3-a2=-3，
故a2009=a5=a4-a3=-6．
故答案为：-6．
已知数列{an}中，
正确答案
λ＞-3
解析
解：∵an=n2+λn①，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．
由已知，数列{an}为单调递增数列，
则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，
所以λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．
已知数列{an}的前n项和为Sn，函数f（x）=
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
解析
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9，则其通项an=______．
正确答案
解析
解：∵Sn=n2-9，
∴当n=1时，a1=1-9=-8，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-9）-[（n-1）2-9]=2n-1，
∴an=
故答案为：
已知数列{an}中，
正确答案
解析
解：∵a1=2，∴
由此可知：an+4=an，即数列{an}是一个周期为4的数列．
∵3690=1×2×3×3×5×41
∴3690正约数共有5+（
∴
故答案为
已知数列{an}中，a1=1，an=2n-1•an-1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项为（ ）
A
B
Can=2n
Dan=2n（n-1）
正确答案
解析
解：∵数列{an}中，a1=1，an=2n-1•an-1（n≥2，n∈N*），
∴
∴
=1×2×22×…×2n-1
=21+2+…+（n-1）
=
故选A．
已知数列{an}是递减数列，且an=（m2-2m）•（n3-2n），则实数m的取值范围为（ ）
A0＜m＜2
B0＜m＜
C-
D-
正确答案
解析
解：∵数列{an}是递减数列，
∴an＞an+1，
∴（m2-2m）•（n3-2n）＞（m2-2m）[（n+1）3-2（n+1）]，
化为（m2-2m）（3n2+3n-1）＜0，
当n≥1时，3n2+3n-1=3
∴实数m的取值范围为0＜m＜2．
故选：A．
已知数列的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=3Sn，第k项满足750＜ak＜900，则k=______．
正确答案
6
解析
解：由an+1=3Sn，当n≥2时，可得an=3Sn-1，
∴an+1-an=3an，
∴an+1=4an．
∴数列{an}是从第二开始的等比数列，a2=3．
∴
∵第k项满足750＜ak＜900，
a5=192，a6=768，a7=3172．
∴k=6．
故答案为：6．
设数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，若Sn+1=3Sn（n∈N*），则数列{an}的第5项是（ ）
A81
B
C54
D162
正确答案
解析
解：∵a1=1，前n项和为Sn，Sn+1=3Sn（n∈N*），
∴数列{Sn}是等比数列，
∴Sn=1×3n-1=3n-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2•3n-2．
∴a5=2×33=54．
故选：C．
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