- 圆的方程
- 共277题
若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是_____.
正确答案
解析
略
知识点
已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2,椭圆C1以线段A1A2为长轴,离心率。
(1)求圆C及椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意可知,可行域是以及点为顶点的三角形,
∵,∴为直角三角形,
∴外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故其方程为。
∵2a=4,∴a=2,又,∴,可得。
∴所求椭圆C1的方程是。
(2)直线PQ与圆C相切,设,则。
当时,,∴;
当时,
∴直线OQ的方程为,因此,点Q的坐标为。
∵,
∴当时,,;
当时候,,∴。
综上,当时候,,故直线PQ始终与圆C相切。
知识点
圆关于直线对称的圆的方程为
正确答案
解析
略
知识点
已知圆O:x2+y2=1和点A(﹣2,0),若定点B(b,0)(b≠﹣2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则:
(1)b= ;
(2)λ= 。
正确答案
(1)﹣;
(2)
解析
(1)设M(x,y),则
∵|MB|=λ|MA|,
∴(x﹣b)2+y2=λ2(x+2)2+λy2,
由题意,取(1,0)、(﹣1,0)分别代入可得(1﹣b)2=λ2(1+2)2,(﹣1﹣b)2=λ2(﹣1+2)2,
∴b=﹣,λ=。
(2)由(1)知λ=。
知识点
已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
(1)求圆的方程;
(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,。当最大时,求直线的方程。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.
(2)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.
圆C:到直线的距离。
.
由椭圆的焦半径公式得:
.
所以当
知识点
如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:为定值,
正确答案
见解析。
解析
(1)
故椭圆的方程为 ,
(2)点与点关于轴对称,设,, 不妨设。
由于点在椭圆上,所以, (*)
由已知,则,,
。
由于,故当时,取得最小值为。
由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到,
故圆的方程为:,
(3)
知识点
已知圆的圆心是直线与轴的交点,且圆与直线 相切,则圆的方程是
正确答案
解析
略
知识点
以抛物y2=4x的焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程
是____
正确答案
解析
略
知识点
若圆心在直线上、半径为的圆与直线相切,则圆的方程是_____.
正确答案
或
解析
略
知识点
若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为
正确答案
解析
略
知识点
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