圆的方程
共277题

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题型：简答题

简答题 · 16 分

设动点到点和的距离分别为和，，若。

（1）求动点P的轨迹的方程；

（2）过点作直线交轨迹于两点，若，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）在中由余弦定理得，

因为， ,

所以，

点P的轨迹C是以A、B为焦点的椭圆，其方程为.

（2）(1)当直线的斜率不存在时，其方程为，

代入得，,

，，；

(2)当直线的斜率存在时，设其方程为，设，

由消去得，

=

，

所以 ,

，,

，

由于，所以，

当时取等号,

综上知的取值范围为.

知识点

圆的标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

己知圆C的极坐标方程为则圆心C的一个极坐标为。

正确答案

解析

把极坐标方程为转化为直角坐标方程为：，所以圆心为，所以圆心C的一个极坐标为。

知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知圆C1的方程为，定直线l的方程为，动圆C与圆C1外切，且与直线l相切。

（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程；

（2）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值。

正确答案

见解析

解析

解（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则

，且

可得。

由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程，

（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为，由于该直线经过点A（0,6），所以有，得，因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为

把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为，所以

知识点

圆的标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周时，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）

正确答案

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知动圆过定点A（0,2）, 且在x轴上截得的弦长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y＝－1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值。

正确答案

（1）

在为减函数，在为增函数

①当时，在为减函数，在为增函数，

②当时，在为增函数，

（2）由题意可知，在上有解

即在上有解

令，即

在为减函数，在为增函数

则在为减函数，在为增函数

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知圆（点O为坐标原点），一条直线与圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B。

（1）设的表达式；

（2）若，求直线的方程。

正确答案

解（1）

即

由消去y 得

与椭圆交于不同的两点，

（2）设则

所以

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知：以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点，其中为原点。

（1）求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。

正确答案

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知识点

直线的截距式方程圆的标准方程直线与圆的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

7.已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）

A+=1

B+=1

C+=1

D+=1 [

正确答案

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

22．在平面直角坐标系xoy中，动点P到定点距离与到定直线：的距离之比为，设动点P的轨迹为C。

（I）写出C的方程；

（II）设直线的值。

（III）若点A在第一象限，证明：当

正确答案

解：（I）设，则依题意有：

故曲线C的方程为

注：若直接用

得出，。

（II）设，其坐标满足

消去

故

而

化简整理得

解得：时方程※的△>0

（III）

因为A在第一象限，故

由

故

即在题设条件下，恒有

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知：以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点，其中为原点。

（1）求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。

正确答案

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知识点

圆的标准方程直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

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