热门试卷

解：⑴设椭圆的方程为，        

椭圆的离心率，右焦点为，

，

，

，       

故椭圆的方程为，      

⑵假设椭圆上是存在点（），使得向量与共线，       

，，

，即，（1）          

又点（）在椭圆上，   (2)            

由⑴、⑵组成方程组解得，或，      

，或，        

当点的坐标为时，直线的方程为，

当点的坐标为时，直线的方程为，

故直线的方程为或，       

（1）设P（x，y），则有，

∴

∵点P在椭圆C上，可得，可得y2=x2，

∴

因此，最小值为1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，

∴椭圆C的方程为，

（2）①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n

把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0

∵直线l1与椭圆C相切，

∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简得m2=1+2k2

同理可得n2=1+2k2

∴m2=n2，而若m=n则l1，l2重合，不合题意，因此m=﹣n

设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，

则，即|k2t2﹣m2|=k2+1，

把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；

因而要使得后式对任意的k∈R恒成立

必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；

②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，

定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意。

综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）

（1）依题意可设椭圆方程为  ，则离心率为

故，而，解得，              ……………………4分

故所求椭圆的方程为.                   ……………………5分

（2）设，P为弦MN的中点，

由  得 ，

直线与椭圆相交，

 ，①        …………7分

，从而，

1）当时

 (不满足题目条件)

∵，则

 ，即 ，   ②    …………………………9分

把②代入①得  ，解得 ，       …………………………10分

由②得，解得，故   ………………………11分

2）当时

∵直线是平行于轴的一条直线，

∴                                      …………………………13分

综上，求得的取值范围是。           …………………………14分

（1）依题意，设椭圆C的方程为。

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4，a=2。

又∵c=1，∴b2=3.∴椭圆C的方程为。

（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0.

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，

化简得：m2=4k2+3.

设，，

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，

则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，

∴，=，

∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，，，。

当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，，

所以四边形F1MNF2面积S的最大值为，

法二：∵，。

∴=。

四边形F1MNF2的面积=，

=，

当且仅当k=0时，，故。

所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为。