热门试卷

（1）由已知，，且a﹣c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2﹣c2=12，

所以椭圆E的方程为。

（2）（ⅰ）由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）。

设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得

，解得。

所以圆的方程为，

即，

因为，当且仅当时，圆的半径最小，

故所求圆的方程为。

（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）。

由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣48=0

由﹣4+xM=，得，所以，

所以，，

所以==，

化简，得16k4﹣40k2﹣9=0，

解得，或，即，或，

此时总有yM=3，所以△ABM的面积为。

解析：（1）b＝c＝1，，所求椭圆的方程为，…………4分

（2）假设在线段OF上存在点M(m，0)(0＜m＜1)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)。

由，可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0。

∴， ………………6分

，其中x2－x1≠0。

以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形

∴，　…………12分

（1）由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8，

所以实数m的取值范围是（4，8）；

（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为，

①设点P坐标为（x，y），则，

因为点M的坐标为（1，0），

所以PM2=（x﹣1）2+y2===，，

所以当x=时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（）；

②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，

从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=，

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），

则，，

两式相减得，，即，

令k=kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），

令y=0，则xN=ky0+x0=，

因为F（2，0），所以FN=|xN﹣2|=，

因为AB=AF+BF=e（3﹣x1）+e（3﹣x2）=|x0﹣3|。

故==，即为定值。

（1）  所求椭圆方程。  ………4分

（2）设直线AC的方程:，

由得到点C，

同理有    .………7分

，

要使为常数，+（1—C）=0，

得C=1，。  ………13分

（1）由题意知,

即,所以,椭圆的方程为                  （2分）

又因为为椭圆上的点,所以解得,可知,

所以,椭圆C的方程为                （5分）

（2）因为直线经过椭圆内的点,所以直线与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线的斜率不存在时,其方程是,代入得,可知,

所以,以MN为直径的圆不经过坐标原点O           （7分）

当直线的斜率存在时,可设的方程为,

由得,

,                    （9分）

若以MN为直径的圆经过坐标原点O,则                （10分）

可得

即,解得.综上所述,存在过点的直线,使得以被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O,的方程为       （13分）

解析：

（1），设椭圆的方程为

依题意，直线的方程为：

由

设

                   …………………………4分

当且仅当

此时 ……………………6分

（2）设点的坐标为。

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，。

点的坐标满足方程组

得，整理得，

于是，。

。

由知。，

将代入上式，整理得。…10分

当时，直线的方程为， 的坐标满足方程组

所以，。

由知，即，

解得。        ………………11分

这时，点的坐标仍满足。

综上，点的轨迹方程为　………………12分

（1）圆与轴交点坐标为，

故，所以，所以椭圆方程是。

（2）设点，，，

因为是直线的倾斜角，且，所以均不可能为，

所以，，

因为，所以。

因为，

所以。

化简得，所以点P在定圆上。