热门试卷

因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE。

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC。

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC，

解析：（1）设知

展开整理得：

即

∴

即

（2）（i）∵AC⊥BD,由椭圆对称性知AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m

则　　　①

联立　　得

∴

由（1）知OA⊥OB, ∴

∴

②          ②代入①有：

∴存在内切圆，其方程为：

容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立.

（ii）

∵　　

∴　

令

∵

当

容易验证，当k不存在时，

（1）设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），则a2－b2=1，①

∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，）和（1，－），

∴  =（1，）•（1，－）=1－，则1－ ＝，即a2=2b4，②

由①，②消去a，得2b4－b2－1=0，∴b2=1或b2=－。

当b2=1时，a2=2 ，因此，椭圆C的方程为。

（2）当直线斜率不存在时，易求A（1，），B（1，－），P（0,1），所以

＝（1，－1），＝（1，－－1），＝（1，－1），

由，得t＝2，直线l的方程为x＝1

当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），A＝（x1，y1），B＝（x2，y2），

所以，＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），＝（1，－1），

由，得

即

因为y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1），所以，y1＋y2＝k（x1＋x2－2），解得：k＝－1

此时，直线l的方程为y＝－x＋1，

联立，得3x2－4x＝0，t＝x1＋x2＝，

所以，当直线斜率存在时，t＝，直线l的方程为y＝－x＋1，

综上所述，存在实数t且t＝2时，直线方程为x＝1，

当t＝时，直线l的方程为y＝－x＋1，

（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=，…………………………………………………３分

故椭圆方程为=1……………………………………………4分

（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，………………………８分

得，，

则AB（）==，……………9分

令t=,则t≥1,

则,………………………10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π。

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分

（1）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，

e＝＝＝，所以a＝，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）由题可知，直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.

②设存在直线l为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)。

由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，

x1＋x2＝，x1·x2＝，

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝＋k2(－＋1)＝＝－1

所以k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)。

（3）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)

由(2)可得：|MN|＝|x1－x2|＝

＝＝.

由消去y，并整理得x2＝，

|AB|＝|x3－x4|＝2，

∴＝＝6

（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=，…………………………………………………３分

故椭圆方程为=1……………………………………………4分

（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，………………………８分

得，，

则AB（）==，……………9分

令t=,则t≥1,

则,………………………10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分