椭圆的定义及标准方程
共573题

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题型：简答题

简答题 · 15 分

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率直线:y=kx+m(km<0)与椭圆C交于两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，AB∥l，且=4.是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

解：（1）椭圆的顶点为，即，，所以，

∴椭圆的标准方程为

（2）设，，由得，

∴，，

∴△==，

则 |MN|=，

令，可得|AB|= ，

∴，化简得或(舍去)，

∴

=解得，

故直线的方程为或

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

设椭圆的焦点在轴上, 分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆在第一象限内的点，直线交轴与点，

（1）当时，

(i)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；

(ii)当点P在直线上时，求直线与的夹角;

（2）当时，若总有，猜想:当变化时，点是否在某定直线上，若是写出该直线方程（不必求解过程）.

正确答案

见解析。

解析

（1）(i) ，，，解得＝.故椭圆E的方程为.

-----------4分

(ii)设，，，其中.由题设知，

将直线代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得 ---------6分

则直线F1P的斜率＝，直线F2P的斜率＝，

故直线F2P的方程为y＝，当x＝0时，y＝，

即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为＝.

所以＝＝－1.

所以F1P⊥F1Q， -----------10分

（2）点P过定直线，方程为 -----------13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围。

正确答案

（1）

（2）或

解析

（1）由已知，所以，所以

所以

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

所以

（2）设

设与椭圆联立得

整理得

得

由点在椭圆上得

又由, 所以

所以

所以由得

所以，所以或

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程.

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.

正确答案

见解析

解析

解析：（1），椭圆方程为……2分

准圆方程为。 …………3分

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），

即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线垂直. …………………………6分

②当都有斜率时，设点，其中.

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则消去，得.

由化简整理得：.…………………………8分

因为，所以有.

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直. …………………………10分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. ………………………12分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，点的纵坐标的最大值为。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由，

，圆心为以EF为直径的圆的方程为：

（当时取等）令则

依题

椭圆C的方程为： ………………………………………………………………6分

（2），由消去y:

设,PQ的中点M

由点差法：……………………………………8分

即① M在直线上 ②

又，而与共线，可得//

③, 由①②③得，这与矛盾，故不存在 …………12分

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