椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于．两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。

正确答案

（1）与轴、轴交点为和

，，

椭圆方程为：

（2）设直线的方程为：（）

可得：

可得：即

设，，

则，

化简得：

可得：，

取值范围为

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

20．已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围．

正确答案

（1）因为是椭圆的右顶点，所以

又

所以

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短袖，则，

所以

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为

则直线的方程为

由

即

所以

即

所以

所以是一个增函数，所以，

综上，的取值范围是

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知椭圆过点，且点在轴上的射影恰为椭圆的一个焦点

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于两点.试问：四边形能否为平行四边形？若能，求出直线的方程；否则说明理由。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为线段的中点，求；

（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是（）.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知椭圆过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2。且

（1）求椭圆E的方程；

（2）若M，N是直线上的两个动点，且，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

19. 已知双曲线的方程为，椭圆长轴的两个端点恰好为双曲线的两个焦点。

（Ⅰ）如果椭圆的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆的方程;

（Ⅱ）如果椭圆的方程为，且椭圆上存在两点A，B关于直线对称，求取值范围。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．

正确答案

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

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椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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