椭圆的定义及标准方程
共573题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

13. 为椭园的左右焦点，是它的一条准线，点P在上，则的最大值为____________。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知椭圆的离心率为，原点到过两点的直线的距离是，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值。

正确答案

（Ⅰ）方法1：由已知得直线的方程为：，

即，

根据点到直线的距离公式得：

即： ①

又 ②

③

由①②③联立得：

∴椭圆的方程为：．

方法2：∵是直角三角形，为斜边，

故，

即，

以下同解法1．

（Ⅱ）设，的中点为，

由得：

④

则，

=．

∴

而又在以为圆心的圆上，

故，

∴，

即

解得：，经检验满足④，

∴的值为．

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.直线与曲线围成图形的面积为（）

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以原点为圆心以椭圆短轴长为直径的圆与线段相切于线段的中点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知两点及椭圆：，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，设线段的中点为，连结，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点?

（3）过坐标原点的直线交椭圆：于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：．

正确答案

（1）连接为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为

因为是的中位线，

且，所以

所以，

故

在中，

即，

又，解得

所求椭圆的方程为．

（2）由（1）得椭圆：

设直线的方程为并代入

整理得：

由得：

设

则由中点坐标公式得：

①当时，有，直线显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则即

所以，

解得：（舍去）

若直线过椭圆的顶点，

则即

所以，

解得：（舍去）

综上，当或或时，

直线过椭圆的顶点

（3）由（1）得椭圆的方程为

根据题意可设，则，

，

所以直线

，

化简得

所以

因为，所以，

则

所以，

则，即

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．设A（x1，y1），B（x2，y2），是椭圆+=（a＞b＞0）上的两点，已知向量m=（，），n=（，），若m·n=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．

（I）求椭圆的方程：

（II）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（III）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

正确答案

（I）2b=2．b=1，

椭圆的方程为

（II）由题意，设AB的方程为y =kx+

由已知＝0得：

＝

，解得k＝±

（III）（1）当直线AB斜率不存时，即x1=x2，y1= -y2，由＝0

又A（x1，y1）在椭圆上，所以

S＝

所以三角形的面积为定值

（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

得到x1+ x1=

代入整理得：

2b2- k2 =4

所以三角形的面积为定值

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 5 分

14．已知是椭圆的左焦点，和分别是椭圆和圆上的动点，的最小值是______________________；的最大值为________________．

正确答案

；

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题型：填空题

填空题 · 5 分

12．如图，AB为圆O的直径，D为AB延长线上一点，直线DC切圆O于点C，，OD=10，则圆O的半径_________，DC=_________.

正确答案

5，

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．

正确答案

（1）由条件得，

所以方程

（2）易知直线l斜率存在，

令

由

得

由

得

将代入

有

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知椭圆的中心在原点，左焦点，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，若以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线的方程。

正确答案

（Ⅰ）设椭圆方程为

令，代入椭圆方程，解得

，解得

∴椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，

联立直线与椭圆的方程，

得

由题意可知，即

∴

整理得：

∴，

解得

代入

所以直线的方程为

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