- 椭圆的定义及标准方程
- 共573题
1.函数f(x)=log2(x2-2x+m)的最小值为2,则m的值为( )
正确答案
解析
因为
所以m-1=4,m=5.
知识点
11.椭圆的离心率为 .
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和
,且
与
共线.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的
圆的内部,求实 数m的取值范围.
正确答案
解:
(Ⅰ)设椭圆E的标准方程为,由已知得
∴,∵
与
共线, ∴
,又
∴, ∴椭圆E的标准方程为
(Ⅱ)设,把直线方程
代入椭圆方程
,
消去y,得,,
∴,
(*)
∵原点O总在以PQ为直径的圆内,∴,即
又
由得
,依题意
且满足(*)
故实数m的取值范围是
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.如图,椭圆C:的焦点在x轴上,左、右顶点分别为A1、A,上顶点为B.抛物线C1、C2分别以A、B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线
上一点P.
(1) 求椭圆C及抛物线C1、C2的方程;
(2) 若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M、N,已知点,求
的最小值.
正确答案
(1) 由题意得A(a,0),B(0,)
∴ 抛物线C1的方程可设为;抛物线C2的方程可设为
由
代入得a = 4
∴ 椭圆方程为,抛物线C1:
,抛物线C2:
(2)由题意可设直线l的方程为
由消去y得
由
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
∵
∴
∵
∴ 当时,其最小值为
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
15.方程表示焦点在
轴的椭圆,则实数
的取值范围是
正确答案
解析
由得:0<k<4。A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
本题主要考查椭圆的标准方程
解题思路
1、把方程化为标准形式;
2、利用a>b判断。
易错点
本题易在判断a,b>0时发生错误。
知识点
12.设分别是椭圆
的左右焦点,若在其右准线上存在点
,使
为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
18. 平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,左、右焦点分别是
,以
为圆心以3为半径的圆与以
为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点
的直线
,过F2与x轴垂直的直线记为
,右准线记为
;
①设直线与直线
相交于点M,直线
与直线
相交于点N,证明
恒为定值,并求此定值。
②若连接并延长与直线
相交于点Q,椭圆
的右顶点A,设直线PA的斜率为
,直线QA的斜率为
,求
的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知 ,则
,又
可得
,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)①M N
②点(
),点Q
,
∵,
,
∴=
=
.
∵点P在椭圆C上, ∴,
∴=
=
.
∵,
∴.
∴的取值范围是
.
考查方向
解题思路
本题考查导数的性质,解题步骤如下:
(1)根据离心率和几何特点,求出椭圆方程
(2)表示M,N进而得
(3)表示,进而得
的取值范围.
易错点
点M,N表示不当
知识点
20.已知椭圆C的中心在坐标原点O,左焦点为F(-l,0),离心率为
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线,与椭圆C交于A、B两点,设(其中1<入<3),求
的取值范围。
正确答案
(1);
(2).
解析
本题属于圆锥曲线中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,
(1)直接按照步骤来求
(2)要注意对参数的讨论.
(1);
(2)由(其中1<入<3)知,直线l不水平,
设l:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2)联立:
消x得:(2+m2)y2-2my-1=0,
得
①由(其中1<入<3)
得y1= -λy2……②
则,
令t=,则0<t<
,
得……③。
=x1x2+y1y2=(my1-1)(my2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-m(y1+y2)+1=
,
将③代入,得=
,
从而∈
。
考查方向
本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点.
解题思路
无
易错点
1、第二问中的易丢对a的分类讨论。
知识点
20.设椭圆(
)过
两点,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点
,且
?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题是直线与圆锥曲线的常见题型,运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理,设而不求等方法技巧,把几何关系转化为代数运算。
(Ⅰ)因为,所以
解得
,所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)若存在满足题意的定圆,设该定圆半径为,则直线
与该定圆相切,由对称性及
可知,此时直线
方程为
,其与椭圆
交于
,故
,解得
,下面说明定圆
满足题意.
①由上述讨论可知,切线于椭圆
交于
两点,满足
.由椭圆
与圆
均关于
轴对称可知,切线
也满足题意.
②当切线不与轴垂直时,设切线方程为
,交
于
.
则圆心到切线的距离
,即
.
由得,
,
所以
,且
.
所以,.
所以,,
所以.
综上所述,存在定圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
,且
.
考查方向
解题思路
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识,解题步骤如下:
(Ⅰ)把点的坐标代入,求出椭圆方程;
(Ⅱ)通过分析得出圆方程,然后对切线与X轴垂直与否,进行分类讨论,推理,得出答案。
易错点
(Ⅰ)得出定圆方程有点困难;
(Ⅱ)对切线与X轴垂直与否,不能进行分类说明。
知识点
20.已知点为坐标原点,椭圆C
的离心率为
,点
在椭圆C上.直线
过点
,且与椭圆C交于
,
两点.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C上是否存在一点,使得
?若存在,求出此时直线
的方程,若不存在,说明理由.
正确答案
(I)
(Ⅱ)存在直线的方程为
或
解析
(I)由题意得 解得
.
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)(1)当直线与
轴垂直时,点
,直线
的方程为
满足题意;
(2)当直线与
轴不垂直时,设直线
,显然
.
设,
,将
代入
得
,
由直线,过点
,得
,
因此.
,得
满足
所以直线的方程为
.
综上,椭圆C上存在点,使得
成立,此时直线
的方程为
或
.
考查方向
解题思路
第一问直接根据离心率得到之间的关系,再根据过点
列出方程组,解出
第二问设直线方程,别忘了考虑斜率不存在的情况,然后根据得到P点坐标,然后把P点坐标代入椭圆方程,得到关于
的方程,解出
即可。
易错点
1、在第二问设斜率的时候没有考虑斜率不存在的情况;
2、在第二问中计算出错
知识点
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