椭圆的定义及标准方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.

24.求椭圆的离心率；

25.过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.

（2）【答案】设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由题意知，，∴，.

解析

（1）由题意知，，∴，.

考查方向

本题考查椭圆与抛物线的应用问题，主要涉及到两者焦距、焦点问题

解题思路

由题意，可知,再根据椭圆中a,b,c的关系式，求出椭圆的离心率

易错点

线段的定比分点计算容易出错，离心率公式容易记错

教师点评

本题是椭圆焦距与抛物线焦点坐标的综合题，属于简单题，只要掌握线段定比分点的性质即可,在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线方程为或.

椭圆方程为.

解析

设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

考查方向

本题考查椭圆中三角形面积最大问题，主要涉及到直线与椭圆的焦点问题、向量在椭圆中的应用问题以及函数值域问题

解题思路

先设出直线方程，联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理，求出两根和积，再利用向量坐标运算，求出关系式，列出面积公式，利用均值不等式求出直线方程和椭圆方程

易错点

计算容易出错，不容易想到均值不等式

教师点评

本题是向量、曲线相交与均值不等式的综合应用题，是一道难度较大的题型，需要掌握直线的不同设法、设而不求法、向量运算与面积问题、均值不等式在最值问题上会经常使用，值得注意

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在平面直角坐标系中，过椭圆的一个焦点作一直线交椭圆于两点，线段长的最大值与最小值分别是.

23.求椭圆的方程；

24.与圆相切的直线与椭圆交于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题意知，解得

所求椭圆的方程为． …………………………………………（5分）

解析

由题意，得,得,从而椭圆方程为

考查方向

本题考查椭圆焦点弦知识，由焦点弦的公式可以知道最大值与最小值

解题思路

由焦点弦公式，可得,从而求出a,b的值

易错点

焦点弦的最大值与最小值容易弄错

教师点评

本题只需要记住焦点弦的公式就可以解决，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得． …………………………（12分）

解析

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得

考查方向

本题考查圆与直线相切问题，向量在圆锥曲线上的应用，变量取值范围问题

解题思路

先由圆与直线相切，求出k，然后联立直线与椭圆方程，消去一个元，算出两根和积，再结合向量的性质，联立关系式，求出变量取值范围

易错点

容易算错斜率，以及变量的取值范围

教师点评

本题是圆锥曲线中的常规题，难度是中等，需要掌握切线问题、设而不求法、向量等知识，才能求出变量的取值范围，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

正确答案

（1）由题意，得且，

解得，，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当轴时，，又，不合题意．

当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

．

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而．

因为，所以，解得．

此时直线方程为或．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

21．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

21．（1）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（2）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即. ①

又由可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点