椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设分别是椭圆C：的左右焦点。

（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直

线PM ，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及

直线L有关，并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1）由于点在椭圆上，

又2=4，

椭圆C的方程为：，

焦点坐标分别为；

(2)设的中点为，则点

把的坐标代入椭圆中，得

线段的中点B的轨迹方程为；

(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，

设，且

，得

故：的值与点的位置无关，同时与直线无关。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则值为（）

正确答案

解析

设交点分别为、，代入椭圆方程：，由两式得：，即，，可化简为：，即.选B.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于

正确答案

解析

由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.

知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足.

（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的的动点.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，

求证：存在定点，使得为定值，并求出的坐标；

（3）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为，连接并延长交椭圆于点，求证：以为直径的圆经过点。

正确答案

见解析。

解析

（1）解：由题设可知：双曲线的焦点为，

所以椭圆中的

又由椭圆的长轴为4得

故

故椭圆的标准方程为：

（2）证明：设，由可得：

由直线OM与ON的斜率之积为可得：

，即

由①②可得：…6分

M、N是椭圆上，故

故，即

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;

（3）证明：设

由题设可知

由题设可知斜率存在且满足.……③

将③代入④可得：

…⑤ 点在椭圆，故

…

所以

因此以为直径的圆经过点

知识点

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