几何证明选讲
共124题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

22．如图5,圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,

割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC

于点E，交直线AD于点F.

(Ⅰ) 当时，求的度数；

(Ⅱ) 求的值.

正确答案

（1）；（2）24；

解析

：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，-----1分

又，--------------2分

，--------------------------------------3分

∵；-------------4分

(Ⅱ)：由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，---------------------------------6分

∴,-----------------------------------------------------------7分

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，------------------------------9分

∴=24. ----------------------------------------------------------------10分

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

第（1）问中找不到与之间的关系；第（2）问无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

知识点

圆的切线的性质定理的证明弦切角与圆有关的比例线段

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图3，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D =30°，，则______.

正确答案

解析

略

知识点

弦切角与圆有关的比例线段

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图所示，是圆外一点，过引圆的两条割线。

正确答案

解析

由割线定理可得

知识点

与圆有关的比例线段

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图所示，点、、是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则（）

正确答案

解析

略

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用与圆有关的比例线段

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，的割线交于两点，割线经过圆心，已知，

，，则的半径是__ 。

正确答案

解析

略

知识点

与圆有关的比例线段

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，已知、为⊙的切线，、分别为切点，为⊙的直径，，则。

正确答案

解析

略

知识点

弦切角与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图是圆上三个点，是的平分线，交圆于，过

作圆的切线交的延长线于。

（1）求证：平分；

（2）求证：。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）∵是圆的切线，∴ ，

而，又是的平分线，

∴ ，∴ ，

∴平分；

（2）由（1）可证∽，∴，

又是的平分线，∴，

∴。

知识点

弦切角与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：

（1）∠BFM＝∠PEF；

（2）PF2＝PD·PC.

正确答案

见解析

解析

（1）连接OE，

∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE.

∴∠PEF＋∠FEO＝90°。

又∵AB⊥CD，

∴∠B＋∠BFM＝90°。

又∵∠B＝∠FEO，

∴∠BFM＝∠PEF.

（2）∵∠EFP＝∠BFM，

∴∠EFP＝∠PEF.

∴PE＝PF.

又∵PE2＝PD·PC，

∴PF2＝PD·PC.

知识点

弦切角与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知()的外接圆为圆，过的切线交于点，过作直线

交于点，且

（1）求证：平分角；

（2）若，求的值

正确答案

见解析

解析

证明：（1）由得，

是切线，，平分角

（2）由，得，由

即

，由,由

知识点

弦切角与圆有关的比例线段

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是（）

正确答案

解析

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知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用弦切角

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