三角函数与三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，，又，

∴，即，解得，故选

知识点

正弦函数的定义域和值域

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，第一象限有系列圆（n）,所有圆均与x轴和直线相切，且任何相邻两圆外切：圆的半径为，其中>>0,若圆的半径为，则等于_______.

正确答案

解析

由已知，，，故，而=1，

所以,.

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正弦函数的定义域和值域

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数。

（1）若函数f（x）的图象在处的切线斜率为3，求实数m的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若函数在[1，2]上是减函数，求实数m的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

由已知，解得.

（2）函数的定义域为.

①当时, ，的单调递增区间为；

②当时.

当变化时，的变化情况如下：

由上表可知，函数的单调递减区间是；

单调递增区间是.

（3）由得，

由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，

即在上恒成立.

令，在上，

所以在为减函数. ,

所以.

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正弦函数的定义域和值域

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为。

（1）求E的方程；

（2）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为、，求的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）设，则

，依题意有

又，所以解得故的方程为

（2）设直线的方程为，代入的方程得

设，则

直线MA的方程为，把代入得，同理

所以

所以，

，令，则，

所以，记，则

所以在单调递增地，所以的最小值为，故的最小值为

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正弦函数的定义域和值域

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知复数满足（i为虚数单位），则z的值为

Ai

B－i

C1

D－1

正确答案

A

解析

由已知得，，。

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正弦函数的定义域和值域

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）各项均为正数的等比数列中，，求数列的前项和为.

正确答案

见解析

解析

‍（1），两式相减得：，当，所以.

（2）设数列的公比为，由题

，所以.

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正弦函数的定义域和值域

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

设，为非零向量，λ，满足，则“λ>1”是“，夹角为锐角”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

由两边平方，得.

若“.夹角为锐角”，则，又由题设知，故；反之，若，则，但.夹角不一定为锐角.选B.

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

执行如图所示的程序框图后，若输出的结果满足y>1,则输入的x的取值范围是_________.

正确答案

x＜-1或x＞1

解析

程序框图定义了一个分段函数：，当得或.

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列满足，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和，求使得成立的最小整数.

正确答案

见解析。

解析

（1）由，得，

∴数列就以不首项，公比为2的等比数列，

∴

∴时，，…，，，

累加得

∴(当时，也满足)

（2）由（1）利用分组求和法得

，得，即，∴

∴使得成立的最小整数.

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率为，定点M（1，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，

正确答案

见解析。

解析

（1）由，得 .

因为，所以△是等腰直角三角形，

所以，.

所以椭圆的方程是.

（2）设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得 .

所以，.

若平分，则直线，的倾斜角互补，

所以.

设，则有 .

将，代入上式，

整理得，

所以 .

将，代入上式，

整理得 .

由于上式对任意实数都成立，所以 .

综上，存在定点，使平分.

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．已知函数，设。

（Ⅰ）求F（x）的单调区间；

（Ⅱ）若以）图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。

正确答案

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B。

（1）若∠APB＝60°，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程；

（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

正确答案

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为_______。

正确答案

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

19.已知过点A(0，4)的直线l与以F为焦点的抛物线C：x2=py相切于点T(-4，yo)；中心在坐标原点，一个焦点为F的椭圆与直线l有公共点．

（1）求直线l的方程和焦点F的坐标；

（2）求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；

（3）设点M(x1，yl)是抛物线C上任意一点，D(0,-2)为定点，是否存在垂直于y轴的直线l/被以MD为直径的圆截得的弦长为定值?请说明理由．

正确答案

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

16．△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝，c＝，b＝1

（1）求a的长及B的大小；

（2）若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－的值域。

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正弦函数的定义域和值域三角函数中的恒等变换应用余弦定理

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